Pfaffsche Systeme

Zusammenfassung

Sind f₁, ... , f _m-k : ℝ^m → ℝ glatte Funktionen mit linear unabhängigen Differentialen, so werden durch die Gleichungen

$$ M_{c1, \ldots ,{c_{m - k}}}^k = \left\{ {x \in {R_m}:{f_1}(x) = {c_1}, \ldots ,{f_{m - k}}(x) = {c_{m - k}}} \right\}$$

glatte, k-dimensionale Mannigfaltigkeiten definiert. Linearisieren wir dieses im Allgemeinen nichtlineare Gleichungssystem, indem wir zu den Tangentialbündeln der Mannigfaltigkeiten übergehen, so werden diese durch das System

$$ TM_{{c_1}, \ldots ,{c_{m - k}}}^k = \left\{ {v \in T{R^m}:d{f_1}(v) = 0, \ldots ,d{f_{m - k}}(v) = 0} \right\}$$

beschrieben. Damit entsteht in jedem Punkt von ℝ^m ein k-dimensionaler Teilraum des Tangentialraums an ℝ^m. Vollständig äquivalent können wir diese Familie von Teilräumen auch durch andere Systeme von 1-Formen ω₁, ... , ω _m-k beschreiben. Ist zum Beispiel (hij) eine Matrix von Funktionen mit nirgends verschwindender Determinante und betrachten wir die 1-Formen $omeg{a_i} = \sum {\text{ }}j = 1m - k{h_{ij}}\cdot d{f_j}$ , so gilt

$$ omeg{a_1} = \ldots = omeg{a_{m - k}} = 0$$

.