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Die innere Geometrie von Flächen

  • Wolfgang Kühnel
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Part of the vieweg studium; Aufbaukurs Mathematik book series (VSAM)

Zusammenfassung

Unter „innerer Geometrie“ versteht man all diejenigen Eigenschaften einer Fläche, die nur von der ersten Fundamentalform abhängen. Populär ausgedrückt ist die innere Geometrie einer 2-dimensionalen Fläche diejenige, die von rein 2-dimensionalen Lebewesen (den sogenannten „Flachländern“ oder auch „Flächenländerni“1) erkannt werden kann, ohne Kenntnis einer dritten Dimension. Längen und Winkel gehören sicher dazu. Es stellt sich dabei die Frage, welche sonstigen geometrischen Größen zur inneren Geometrie gehören, insbesondere auch, welche der betrachteten Krümmungsgrößen dazugehören. Einerseits ist es intuitiv klar, daß eine Verzerrung der Längen- und Winkelverhältnisse auch irgendeinen Einfluß auf die Krümmung haben kann. Andererseits ist keineswegs klar, ob und inwieweit die erste Fundamentalform ausreicht, um die Krümmung festzulegen.

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Literatur

  1. 1.
    vgl. dazu EDWIN A. ABBOTT, Flatland - a romance of many dimensions, 1884, deutsche Übersetzung: Flächenland, Klett-Cotta, Stuttgart 1982Google Scholar
  2. 2.
    HEINRICH HERTZ postulierte, daß eine kräftefreie Bewegung in einer Fläche notwendig mit konstanter Geschwindigkeit und minimaler Krümmung erfolgen müsse, also mit verschwindender geodätischer Krümmung, weil die Normalkrümmung ja festliegt.Google Scholar
  3. 3.
    Dies gilt auch für Flächenstücke der Klasse C2 mit anderem Beweis, s. PH.HARTMAN, A.WINTNER, On the fundamental equations of differential geometry, American Journal of Math. 72 (1950), 757–774.CrossRefGoogle Scholar
  4. 4.
    siehe F.MINDING, Bemerkung über die Abwicklung krummer Linien von Flächen, J. Reine u. Angewandte Mathematik (Crelle—Journal) 6, 159–161 (1830). Dort wird der Beweis ganz ähnlich wie hier geführt, und zwar in Polarkoordinaten E = 1, F = 0 und G(0, v) = 0 sowie (V -)u (0, v) = 1.Google Scholar
  5. 5.
    nach F.APÉRY, Models of the real projective plane, Vieweg 1987, S. 130Google Scholar
  6. 6.
    H.H0PF, Über die curvatura integra geschlossener Hyperflächen, Math. Annalen 95, 340–367 (1926), vgl. D.H.GOTTLIEB, All the way with Gauss—Bonnet and the sociology of mathematics, Amer. Math. Monthly 103, 457–469 (1996)CrossRefGoogle Scholar
  7. 7.
    nach T.BANCHOFF, N.H.KuIPax, Geometrical class and degree for surfaces in three-space, Journal of Differential Geometry 16, 559–576 (1981), Abschnitt 5Google Scholar
  8. 9.
    Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen, Compositio Math. 2, 69–133 (1935)MathSciNetGoogle Scholar
  9. 10.
    siehe H.KARCHER, Eingebettete Minimalflächen und ihre Riemannschen Flächen, Jahresbericht der Deutschen Math.-Vereinigung 101, 72–96 (1999) “Eine neue Eigenschaft der Kugel, Nachr. Akad. Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 44–55 (1899)Google Scholar
  10. 13.
    vgl. U.ABRESCH, Constant mean curvature tori in terms of elliptic functions, J. Reine und Angew. Math. 374, 169–192 (1987) sowie R.WALTER, Explicit examples to the H-problem of Heinz Hopf, Geometriae Dedicata 23, 187–213 (1987), beide Artikel mit Computer-Bildern. Diese erklären das recht komplizierte Innere des Wente-Torus.Google Scholar
  11. 14.
    vgl. Beispiel 52.1 in E.KREYSZIG, Differentialgeometrie, 2. Aufl., Akad. Verlagsges. 1968Google Scholar
  12. 16.
    vgl. K.Voss, Eine Bemerkung über die Totalkrümmung geschlossener Raumkurven, Archiv d. Math. 6, 259–263 (1955)CrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 2003

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Kühnel
    • 1
  1. 1.Fachbereich MathematikUniversität StuttgartStuttgartDeutschland

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