Primale und funktional vollständige Algebren

Zusammenfassung

Aus den fundamentalen Operationen und den Projektionsabbildungen erhält man durch Superposition die Termfunktionen bzw. die Polynomfunktionen einer Algebra (letztere, wenn man auch Konstanten einsetzen darf). Natürlich ist es interessant festzustellen, in welchen Fällen man auf diese Art alle endlichstelligen Operationen auf der Grundmenge der Algebra erhält, d.h. wann die Algebra primal bzw. funktional vollständig ist. In diesem Kapitel wird dieser Frage nur für Algebren mit endlicher Grundmenge nachgegangen. Gerade für Anwendungen in der Informatik bedeutet das offensichtlich keine wesentliche Einschränkung. Im Mittelpunkt des ersten Abschnitts steht der Entwicklungssatz von E. L. Post: Mit völlig elementaren Methoden wird gezeigt, wie man aus gewissen Standardoperationen alle Operationen auf einer Menge zusammensetzen kann. Im zweiten Abschnitt wird dann untersucht, was hinter Primalität und funktionaler Vollständigkeit „wirklich“ steckt. Es stellt sich heraus, daß Kongruenzvertauschbarkeit und Kongruenzdistributivität hier eine entscheidende Rolle spielen (genauer gesagt die zugehörigen Maltsev-Bedingungen).