Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen erläutert, welche für den Untersuchungsgegenstand dieser Arbeit relevant sind. Dabei werden die Herleitungen der relevanten Modelle der modernen Portfolio Theorie diskutiert, wobei das Schwergewicht — wie in Kapitel 1 dargelegt — auf der APT liegt. Aus diesem Grund nimmt dessen formale Herleitung einen breiteren Stellenwert ein, als beispielsweise der Ansatz von Markowitz oder das klassische CAPM.
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Literatur
Der Autor hat in verschiedenen Arbeiten zu unterschiedlichen Aspekten Stellung genommen. Die hier zitierte Literatur fasst jedoch seine wichtigsten Arbeiten zu diesem Thema zusammen.
Vgl. Merton (1994), S. 3-86 sowie S. 475-484; Lafont (1989), S. 6-54 sowie S. 103-119; Kreps (1990), S. 71-133; Varian (1992), S. 172-194 sowie S. 368-386.
Merton (1994), S. 477 zählt im weiteren noch die Bedingung der kontinuierlich gehandelten Assets auf. Dieser Aspekt wird in Zusammenhang mit dem ICAPM (vgl. Abschnitt 5) wichtig.
Eine Diskussion der Bedeutung der Homogenität und Rationalität wird in Ross (1978), S. 889 diskutiert.
Vgl. von Neumann/Morgenstern (1947) und Lafont (1989), S. 9 ff.
Vgl. Pratt (1964), 122 ff oder Merton (1982), S. 606.
Vgl. ebenso die Diskussion in Zusammenhang mit der “Stochastischen Dominanz” (Rothschild/Stiglitz (1970), S. 230 ff und Rothschild/Stiglitz (1971)).
Bei strikter Konkavität der Funktion ist die zweite Ableitung U″(W) negativ und somit der gesamte Ausdruck für A(W) positiv. Selbstverständlich kann für U(W) eine beliebige implizite Funktion angenommen werden, ohne dass sich die Ergebnisse ändern. Allerdings vereinfacht beispielsweise die Exponentialfunktion U(W)=-e -rW(vgl. Varian (1992), S. 189) die analytischen Herleitung erheblich. Merton (1994, S. 137 ff) hat explizite Lösungen für spezielle Klassen von Nutzenfunktionen berechnet.
Vgl. hierzu die Ausführungen von Rothschild/Stiglitz (1970, 1971).
Mit Wahrscheinlichkeit P tritt die Realisierung W1B und mit einer Wahrscheinlichkeit von (1-p) diejenige von W2B ein. Der Erwartungswert dieser beiden Realisierungen wird hier als identisch mit demjenigen von von Fall A (E[W]) angenommen.
Auf die weiteren Annahmen, welche dem Modell von Markotwitz zugrundeliegen, wird an dieser Stelle nicht eingegangen.
Bezüglich der Herleitung der Effizienzkurve sei auf Markowitz (1959) verwiesen. Die Annahmen bezüglich der Nutzenfunktion werden in Markowitz (1959, S. 263-273 und S. 286-303) diskutiert.
Der Pfeil deutet die Richtung des ansteigenden Nutzens an.
Vgl. Tobin (1958), S. 65 ff.
Das Portfolio P weist — vom Punkt rf aus betrachtet — die grösste Steigung und somit den grössten Ertragszuwachs pro zusätzliche Einheit Risiko auf. Das Portfolio P entspricht der Tangente von rf an die Effizienzkurve und wird deshalb auch als “Tangential-Portfolio” bezeichnet.
In den nachfolgenden Erläuterungen zum CAPM wird detaillierter auf diesen Aspekt eingegangen.
Die drei Autoren werden im folgenden als SLM zusammengefasst.
Dieser Aspekt der “arbitrage condition” wird in Abschnitt 6 in Zusammenhang mit der APT detaillierter erläutert.
Die Annahme kommen zu den bereits oben erwähnten 4 Annahmen hinzu; vgl. Merton (1982, 1994).
Vgl. Tobin (1958), Arrow (1964) und Sharpe (1964).
Für die formale Herleitung dieser Aussage vgl. Sharpe (1964) oder Merton (1982) (für den “continuoustime” Fall).
Im folgenden wird ß mit CAPM-Beta bezeichnet, um terminologisch zwischen den Risikoexpositionen des CAPM-Beta und der APT zu unterscheiden.
Vgl. hierzu Sharpe (1964) oder Copeland/Weston (1983). Allerdings geht aus Roll’s Kritik hervor, dass dies eine Konsequenz der mathematischen Eigenschaften der effizienten Grenze ist (vgl. Roll’s Kritik in Kapitel 3, Abschnitt 2).
Hierzu sind v.a. Black (1972), Jensen (1972), Black/Jensen/Scholes (1972) sowie Copeland/Weston (1983) zu erwähnen.
Erweiterungen des CAPM sind u.a. bei Brennan (1970), Mayers (1972), Elton/Gruber (1984) oder die jüngsten Entwicklungen bezüglich des “Conditional CAPM” u.a. bei Jagannathan/Wang (1996) zu finden.
Bis zu diesem Punkt beschränken sich die spezifischen Kriterien der Investoren auf die Festlegung der Risikoaversion.
Vgl. Anhang 1 für “continuous-time stochastic process”, Anhang 2 fur Itô’s Prozess und Anhang 3 für die optimale Portfolio Selektion.
Diese Gewichtung entspricht dem optimalen Portfolio am Anfang der Investitionsperiode.
Vgl. hierzu Mandelbrot (1963 a,b) und Fama (1965).
Dieser Ausdruck kann als persönlicher Nutzen B für den Investoren, welcher für ihn aus seiner Hinterlassenschaft W zum Zeitpunkt T seines Ablebens entsteht, interpretiert werden.
E[r] stellt einen (nxl)-Vektor der erwarteten Renditen der Assets i (i=l,…, N) dar.
Dies betrifft jeweils die weitere “first order condition” des Optimierungsproblemes.
Dies bedeutet, dass aufgrund des isoelastischen Grenznutzens die Risikoperzeption unabhängig ist von der Höhe des Vermögens.
Die Zusammenfassung der Herleitung von Merton (1994, v.a. Kapitel 6) ist in Anhang 3 zu finden.
Der Unterschied in der Notation: der Ausdruck K (Inverse der relativen Risikoaversion) ist identisch mit (1-γ)−1.
Vgl. Abbildung 2.3 in Abschnitt 3.
Der marginale Nutzen des Vermögens bezüglich den verschiedenen “state” Variablen.
Die Funktion ist konkav in k, wenn die erste Ableitung positiv ist.
Dieses Beipsiel wurde von R. Stulz — Professor an der Ohio State University und Editor des Journal of Finance — bei einem Referat im Rahmen eines Seminars im Ausbildungszentrum der Schweizerischen Nationalbank in Gerzensee vorgebracht.
Dies bedeutet, dass die Korrelation des Assets mit dem Schokoladenpreis ∑s positiv ist.
Vgl. Merton (1994), S. 499ff.
Vgl. Merton (1994), S. 491 ff. Mittels dem “three-fund theorem” werden die Auswirkungen der Nachfrage nach Assets untersucht, wenn die Anleger mindestens einen Risikofaktor hedgen möchten.
Vgl. ebenso Abschnitt 2 in Kapitel 3 und Anhang 5.
Bei den “conditional factor models” wird von zeitvarianten Mittelwerten und Varianzen ausgegangen. Jüngere Studien haben somit dynamische Faktormodelle in Betracht gezogen; vgl. u.a. Engle/Ng/Rothschild (1990).
Da die Kernaussage der APT nur asymptotisch gilt, gibt die Berechnung des Bewertungsfehlers Aufschluss über die Grössenordnung potentieller Fehler bei einer kleinen Anzahl von Assets.
Aus diesem Grund werden sie Faktorportfolios genannt.
Ross unterscheidet hierbei zwischen Erwartungen und Antizipation. Über die exakten Verteilungen der ∫k und der ε können die Investorenmeinungen auseinandergehen. Allerdings muss gemäss dem Modell Einigkeit herrschen bezüglich der relevanten Faktoren und den Risikoexpositionen der einzelnen Assets.
Vgl. die “Rotational Indeterminacy” in Abschnitt 2, Kapitel 3.
Diese einfache Addition kann allerdings nur aufgrund der Orthogonalität der Faktoren durchgeführt werden. Es wird sich in Zusammenhang mit den makroökonomischen Variablen zeigen, dass diese nicht immer unabhängig voneinander sind und dass somit die Korrelation unter den Faktoren berücksichtigt werden muss.
Einerseits wird gezeigt, dass nur Portfolios innerhalb des konvexen Raumes, welcher von den einzelnen Assets gebildet wird, konstruierbar sind (solange nur Long-Positionen möglich sind). Andererseits werden die Konsequenzen diskutiert, wenn die Faktoren nicht orthogonal zueinander sind (die Qrthogonalität zeigt sich in Abbildung 2.5 durch die senkrecht aufeinander stehenden Achsen βi1 und ßi2).
Basierend auf der Darstellung von Roll/Ross (1984), S. 23.
Aus der Faktor-oder der Hauptkomponenten-Analyse können statistisch Faktoren generiert werden, die spezifische Bedingungen wie beispielsweise die Qrthogonalität erfüllen. In Kapitel 3, Abschnitt 2 wird detaillierter darauf eingegangen.
Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, müssen im weiteren asymptotische Arbitragemöglichkeiten berücksichtigt werden.
Die Beweisführung wurde oben beschrieben; vgl. ebenso Huberman (1982).
Im nachfolgenden Unterabschnitt wird auf das approximative Faktormodell eingegangen.
In Anhang 4 wird diese Argumentation formal beschrieben.
w stellt einen (nxl)-Vektor mit den Portfolio-Anteilen der einzelnen Aktien dar.
Bezüglich Abbildung 2.5 bedeutet dies, dass das Arbitrage-Portfolio in Punkt rf lokalisiert wäre.
Damit sind w’B=0 und w’ε=0 gemeint.
Vgl. Anhang 4.
Vgl. Chamberlain/Rothschild (1983), S. 1297.
Vgl. Grinblatt/Tittman (1983), S. 503.
Dybvig(1983), S.493.
Ross (1976) argumentiert mit Hilfe der Diagonalität der Residuen Kovarianz-Matrix bei gut diversifizierten Portfolios.
Chamberlain/Rothschild (1983) weichen von der Annahme der Diagonalität ab und leiten für das approximative Faktormodell Bedingungen bezüglich der Eigenwerte der Faktoren-sowie der Residuen Kovarianz-Matrix her (vgl. oben).
Dies entspricht einer linearen Regression der E[ri] auf eine Konstante und die Faktorladungen.
Allerdings können dennoch Informationen aus den Residuen gewonnen werden. Zwar ist deren Erwartungswert Null, doch möglicherweise besteht eine Systematik hinter den individuellen Abweichungen. So haben beispielsweise Chan/Chen/Hsieh (1985) untersucht, inwiefern die positive bzw. negative Residuen durch die Grösse von Unternehmungen (Marktwert) erklärt werden können (vgl. unten).
Zum analogen Ergebnis kam auch Shanken (1992, b), S. 1570-1571.
Vgl. Reisman (1992), S. 1304-1305.
Obwohl bisher noch nichts über die Identität der Faktoren ausgesagt wurde, wird in diesem Beispiel von makroökonomischen Variablen ausgegangen.
E[f] = 0, daf= rwE[rw] sowie E[fε]=0.
Vgl. Reisman (1992), S. 1304-1305 und Shanken (1992, b), S. 1570-1571.
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Häfliger, T. (1998). Theoretische Grundlagen. In: Basis- und Faktorportfolios. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-92345-5_2
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Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8244-6693-1
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