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Kapitel IV

  • Urs Kirchgraber
  • Eduard Stiefel
Chapter
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Part of the Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik book series (LAMM-TSB, volume 44)

Zusammenfassung

Die bisherigen Untersuchungen haben formalen Charakter. Es geht deshalb in diesem letzten Kapitel darum zu zeigen, daß die mit der Mittelwertmethode gefundenen Näherungen das ursprünglich vorgegebene System in befriedigender Weise beschreiben. Dies geschieht in zwei Richtungen. Einerseits zeigen wir in §11, daß die Lösungen des vorgegebenen Problems sich von den konstruierten Näherungslösungen, unter gewissen Voraussetzungen, in geeigneten Zeitintervallen nur wenig voneinander unterscheiden. Andererseits zeigen wir in §12 und §13, daß aus dem geometrischen Verhalten des gemittelten Systems unter Umständen auf das geometrische Verhalten des ursprünglichen Problems geschlossen werden kann.

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Literaturhinweise

  1. §11.
    Die in Abschn. 11.1 dargestellte exakte Begründung der Lie-Reihen-Methode ist neu; ähnliche Gedankengänge finden sich bei der formalen Untersuchung von J. Henrard in [H3]. Lemma 5 ist ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes von U. Kirchgraber [K14]. Mit diesem Satz verwandt ist die nicht-lineare Variante der Variation-der-Konstanten-Formel von V. M. Alekseev [A1]. Die Literatur über Fehlerabschätzungen zur Mittelwertmethode ist sehr groß. Fehlerabschätzungen auf einem t-Intervall der Form [0, L/ε) finden sich z.B. in: N. N. Bogoliubov, Y. A. Mitropolski [B2], M. M. Khapaev [K15], J. G. Besjes [B11], W. T. Kyner [K8], V. V. Laricheva [L3]. Diese Arbeiten beziehen sich auf die Approximation der Ordnung 0. Approximationen höherer Ordnungen werden z.B. in M. Kruskal [K16], P. P. Zabreiko und 1. B. Ledovskaya [Z2], L. Perko [P2] behandelt. Der eine auf [0, ∞) gültige Fehlerabschätzung bietende Satz 3 (oder Teile von ihm) ist von mehreren Autoren mit verschiedenen Methoden behandelt worden: W. S. Loud und P. R. Sethna [L4], C. Banfi [B12], P. R. Sethna und T. J. Moran [S15], P. R. Sethna [S16], W. Eckhaus [E2] (cf. auch F. Verhulst [V5]). Weitere Untersuchungen, welche explizit oder implizit Annahmen machen über das Stabilitätsverhalten der Lösungen des gemittelten Systems: U. Kirchgraber [K17], [K11], [K18], P. R. Sethna und M. Balachandra [S17], A. H. P. van der Burgh [B10], [B13], M. Vitins [V6], W. M. Greenlee und R. E. Snow [G6]. Satz 4 über das Einzugsgebiet einer asymptotisch stabilen Gleichgewichtslösung ist aus J. La Salle und S. Lefschetz [L5]. Das Beispiel in Abschn. 11.4 ist einer Arbeit von W. S. Loud und P. R. Sethna [L4] entnommen. Abschn. 11.5 ist eine Übertragung von Malkins Theorie der Stabilität bei beständig wirkender Störung, I. Malkin [M3], [M10]. Das im letzten Abschnitt dieses Paragraphen behandelte Resonanzproblem ist mit einem Satz von V. I. Arnold (cf. V. I. Arnold und A. Avez [A2]) verwandt.Google Scholar
  2. §12.
    Die Theorie der Integralmannigfaltigkeiten bei dissipativen Systemen ist sehr gut entwickelt und entsprechend groß ist die Anzahl der Publikationen. Wir müssen uns deshalb mit einer Auswahl von Zitaten begnügen: N. N. Bogoliubov und Y. A. Mitrpolski [B2], I. G. Malkin [M11], J. Hale [H15], [H16], P. Hartman [H17], W. A. Coppel [C6], A. Halanay [H18], V. A. Pliss [P3], A. Kelley [K19], H. W. Knobloch und F. Kappel [K20], J. E. Marsden und M. McCracken [M8]. Obwohl verwandt mit mehreren der zitierten Arbeiten, scheint uns unser zentraler Existenzsatz (Satz 1) und sein Beweis besonders durchsichtig zu sein. Die Diskussion der Bedingung α<β in Abschn. 12.1 ist änlich wie eine entsprechende Betrachtung in J. Hale [H16]. Lemma 1 ist aus W. Walter [W1]. In J. Hale [H16] gibt es ein ähnliches Theorem wie unser Satz 4. Die Gleichungen für das Kreiselproblem in Abschn. 12.4 stammen aus K. Magnus [M7], [M12]. Dasselbe Problem ist auch in N. Minorsky [M2] und N. V. Butenin [B14] behandelt worden. Für eine nicht-lokale Behandlung des Systems (76) in einem Spezialfall cf. U. Kirchgraber [K21].Google Scholar
  3. §13.
    Die Theorie der invarianten Mannigfaltigkeiten für kanonische Systeme ist verhältnismässig jung. Sie wurde von A. N. Kolmogorov [K22], [K23], [K24] 1953 initialisiert, dann etwa 10 Jahre später von V. I. Arnold und J. K. Moser und anderen voll entwickelt: V. I. Arnold [A3], V. I. Arnold und A. Avez [A2], J. Moser [M13], C. L. Siegel und J. Moser [S3], J. Moser [M14], H. Rüssmann [R1], G. E. O. Giacaglia [G3], N. N. Bogoliubov, Y. A. Mitropolski, A. M. Samoilenko [B15]. Die Verfasser setzten sich zum Ziel, einen dieser Sätze in großer Ausführlichkeit darzulegen, um es auch dem wenig erfahrenen Leser zu ermöglichen, diese grundsätzlich zwar einfache, aber in der ganzen Durchführung doch recht verwickelte Beweistechnik zu erlernen. Angeregt durch seine elegante Behandlung des funktionentheoretischen Zentrumproblems (H. Rüssmann [R2]) baten sie H. Rüssmann um einen analogen Beweis des Moserschen Twist-Theorems, der von H. Rüssmann alsbald vorgelegt wurde [R3]. Diese Arbeit bildet denn auch die Grundlage für den Beweis von Satz 1. Es sei darauf hingewiesen, daß die Grundidee von Rüssmann aus [R2] durch E. Zehnder zu einem allgemeinen impliziten Funktionentheorem ausgebaut worden ist [Z3], [Z4]. Für Anwendungen des Twist-Theorems verweisen wir auf C. L. Siegel und J. Moser [S3], J. Moser [M15], W. T. Kyner [K12], [K25], M. Braun [B16]. Die Theorie von Abschn. 13.3 hat sich aus Vorarbeiten von N. Sigrist [S10], [S11] herausentwickelt. Satz 2 und eine Anwendung davon wurde in U. Kirchgraber [K26] veröffentlicht.Google Scholar

Copyright information

© B. G. Teubner, Stuttgart 1978

Authors and Affiliations

  • Urs Kirchgraber
    • 1
  • Eduard Stiefel
    • 2
  1. 1.Eidg. Technische Hochschule ZürichSwitzerland
  2. 2.Eidg. Technischen Hochschule ZürichSwitzerland

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