Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit allgemeinen formalen Eigenschaften der Störungstheorie.
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Literaturhinweise
Die Strukturbetrachtungen des §7 sind der Arbeit [K6] von U. Kirch-graber und M. Vitins entnommen.
Für eine allgemeine Einführung in die Theorie Hamiltonscher Systeme verweisen wir auf H. Goldstein [G5] oder E. Stiefel und G. Scheifele ([S7], Kapitel VIII, IX). Die in Abschn. 8.3 dargestellte Herleitung der kanonischen Störungsgleichungen aus den allgemeinen Störungsgleichungen ist auch in der Arbeit [H2] von G. Hori enthalten. Es sei darauf hingewiesen, daß auch der umgekehrte Weg möglich ist: durch Verdoppelung der Variablen kann jedes DG1.-System formal zu einem kanonischen System gemacht werden. Diese Idee zur Herleitung von Störungsgleichungen haben A. A. Kamel [K2] und J. Choi und B. Tapley [C1] benutzt. Zu dem in Abschn. 8.5 diskutierten gekoppelten Pendelproblem gibt es eine grosse Zahl von Arbeiten z.B. A. Blaquière [B9], G. Hori [H9], A. H. v. der Burgh [B10], E. Mettler [M9], N. Sigrist [S10], [S11]. Für die Bedeutung der G1. (48) für die Bewegung von geladenen Teilchen im Zyklotron cf. T. Sigurgeirsson [S12], B. L. Cohen [C5], W. Joho [J1].
Das Singularitätenproblem scheint zuerst im Rahmen der kanonischen Satellitentheorie von D. Brouwer durch R. H. Lyddane [L2] behandelt worden zu sein. Später wurde von verschiedenen Autoren erkannt, daß eine elegante Behandlung des Problems möglich ist durch Verwendung der Lie-Reihen-Methode, falls das vorgelegte System kanonisch ist: G. Hori [H10], J. Henrard [H11], N. Sigrist [S10]. Die Behandlung nicht-kanonischer Probleme ist wesentlich komplizierter. Ein erster Versuch stellt die Dissertation von R. Kunz [K13] dar. §9 ist neu.
Nachdem den Verfassern die formale Ähnlichkeit zwischen der Erzeugenden der Zusammensetzung zweier Lie-Reihen und der sog. Hausdorff-Campbell-Formel, F. Hausdorff [H12], aufgefallen war, gelang es F. Spirig [S13], [S14] den Zusammenhang tatsächlich herzustellen. §10 basiert auf seinen Ideen. Es sei noch bemerkt, daß die Zusammensetzung zweier Lie-Reihen in der von A. Deprit begründeten Variante [D1] leichter zu gewinnen ist (cf. J. Henrard [H3]). Dafür bereitet es in dieser Theorie größere Schwierigkeiten, die fast-identische Transformation umzukehren. Man kann sich fragen, welche Vorteile die auf Lie-Reihen gegründete Störungstheorie gegenüber der klassischen Methode von Krylow-Bogoliubov hat. Es scheint uns, daß ihre Bedeutung im Aufbau der Störungsgleichungen durch Kommutatoren liegt. Als Bestätigung können wir die Untersuchungen in diesem Kapitel aufführen. Eine weitere vielversprechende Möglichkeit besteht darin, die übersichtliche Struktur der Störungsgleichungen zur automatisierten Durchführung der Störungstheorie mittels Computer auszunützen. Erste Resultate in dieser Richtung sind: A. Deprit und A. Rom [D3], J. Henrard [H13], [H14].
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© 1978 B. G. Teubner, Stuttgart
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Kirchgraber, U., Stiefel, E. (1978). Kapitel III. In: Methoden der analytischen Störungsrechnung und ihre Anwendungen. Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik, vol 44. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-92147-5_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-92147-5_4
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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