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Kapitel I

  • Urs Kirchgraber
  • Eduard Stiefel
Chapter
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Part of the Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik book series (LAMM-TSB, volume 44)

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel dieses Buches beschreiben wir die Mittelwertmethode auf der Grundlage von Lie-Reihen.

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Literaturhinweise

  1. Die in diesem Kapitel entwickelte Methode zur approximativen Lösung schwingender DGl.-Systeme geht im Prinzip auf H. Poincaré [P1] zurück, der durch angenäherte Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung der klassischen Mechanik Hamiltonsche Systeme näherungsweise gelöst hat. Angewandt wurde seine Methode zunächst auf ein himmelsmechanisches Problem durch H. v. Zeipel [Z1]. Diese Arbeit wiederum dürfte beigetragen haben zu D. Brouwers Satellitentheorie [B1], die 1959 erschien, und vor allem in den USA eine Renaissance der sog. “v.-Zeipel-Methode” bewirkte.Google Scholar
  2. Offenbar in Unkenntnis dieser Ansätze entwickelte sich etwa seit 1930 in der USSR, motiviert durch technische Fragestellungen, die sog. Mittelwertmethode, cf. N. Krylow und N. N. Bogoliubov [K1], die ihre erste umfassende Darstellung durch das Buch von N. N. Bogoliubov und Y. A. Mitropolski [B2] erhielt. Seither hat das Interesse der sowjetischen Forscher an dieser Methode noch ständig zugenommen, und es ist eine kaum zu überblickende Zahl von teilweise nicht leicht zugänglichen Publikationen erschienen. Etwas Einblick vermitteln Veröffentlichungen von V. Volosov [V2], Y. A. Mitropolski [M5], [M6].Google Scholar
  3. 1966 kam Brouwers Schüler G. Hori [H1] auf die Idee, fast-identische Transformationen durch Lie-Reihen darzustellen. Der Begriff der Lie-Reihe geht auf S. Lie [L1] zurück und ist von W. Gröbner [G1], [G2] und seinen Schülern analysiert und angewandt worden. Eine Arbeit von A. Deprit [D1], welche eine Variante von Horis Idee ist, hat eine größere Zahl von Artikeln bewirkt: Waren die genannten Arbeiten von Hori und Deprit auf Hamiltonsche Systeme beschränkt, so wird nun von J. Henrard [H3], G. Hori [H2], A. A. Kamel [K2], [K3] sowie J. Choi und B. Tapley [C1] auch der allgemeine Fall behandelt. J. A. Campbell und W. H. Jeffreys [C2], H. Shniad [S1], W. Mersman [M1], J. Henrard und J. Roels [H4], D. Stern [S2] und U. Kirch-graber [K4] klären den Zusammenhang zwischen den Ansätzen von Poincaré-v.Zeipel, Hori und Deprit.Google Scholar
  4. Eine erste zusammenfassende Darstellung der Lie-Reihenmethode findet man in G. Giacaglia [G3].Google Scholar
  5. Bisher haben wir zwei Hauptzweige der Entwicklung angedeutet. Daneben gibt es zahlreiche verwandte, zum Teil weniger weit reichende Methoden. Etwa die Methode der harmonischen Balance (cf. N. N. Bogoliubov und Y. A. Mitropolski [B2]), die stroposkopische Methode von N. Minorski [M2], die Zweivariablenmethode von J. Cole und J. Kevorkian [C3], cf. auch J. Kevorkian [K5], A. Nayfeh [N1]. Aber auch die von I. G. Malkin [M3] angewandte Methode zur Behandlung der sog. kritischen Stabilitätsfälle oder die Birk-hoffsche Normalform, cf. C. L. Siegel und J. Moser [S3] gehört in diesen Gedankenkreis.Google Scholar
  6. Wir haben hier die Lie-Reihen-Methode von Hori vorgelegt, nicht nur weil sie gestattet, Approximationen beliebiger Ordnung zu konstruieren (das leistet die Mittelwertmethode, wie P. Musen [M4] gezeigt hat, auch), sondern weil sie eine überaus elegante Darstellung der Störungsgleichungen ermöglicht und deshalb Aussagen über die Struktur der höheren Näherungen erlaubt, ohne diese wirklich zu errechnen (cf. Kapitel III).Google Scholar
  7. Die Herleitung der Störungsgleichungen in §2 ist neu. Die vereinfachten Störungsgleichungen (20.i) erscheinen in dieser allgemeinen Form hier zum ersten Mal. Weitere Herleitungen geben wir in 10.4 und 11.1. Satz 1 in §3 stammt von M. Vitins [V3] sowie aus U. Kirchgraber und M. Vitins [K6].Google Scholar
  8. Die Frage, unter welchen allgemeinen Bedingungen sich Elemente einführen lassen (cf. §1) hat V. I. Arnold untersucht, cf. V. I. Arnold und A. Avez [A2].Google Scholar

Copyright information

© B. G. Teubner, Stuttgart 1978

Authors and Affiliations

  • Urs Kirchgraber
    • 1
  • Eduard Stiefel
    • 2
  1. 1.Eidg. Technische Hochschule ZürichSwitzerland
  2. 2.Eidg. Technischen Hochschule ZürichSwitzerland

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