Die Wärmeleitungsgleichung

Zusammenfassung

Die Wärmeleitungsgleichung

$$\Delta u(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} ,t) - \frac{{\partial u(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} ,t)}}{{\partial t}} = 0, \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x} \in {\mathbb{R}^n},t > 0$$

((6.1))

ist, wie wir aus Abschnitt 4.3.1 wissen, ein typischer Vertreter der parabolischen Differentialgleichungen. Wie schon bei der Schwingungsgleichung, zeigt es sich auch hier, daß im Hinblick auf Lösungen und Lösungsmethoden keine wesentliche Dimensionsabhängigkeit auftritt. Wir beschränken uns daher im folgenden zumeist auf die Behandlung des Falles n = 3. Zur eindeutigen Charakterisierung einer Lösung benötigt man auch bei der Wärmeleitungsgleichung zusätzliche Bedingungen. In den Anwendungen treten dabei sowohl Rand- und Anfangswertprobleme als auch reine Anfangswertprobleme auf.