Die reellen Zahlen

Zusammenfassung

Wir haben die reellen Zahlen im ersten Abschnitt schon häufig verwendet, jetzt wollen wir sie endlich genauer charakterisieren, da die Eigenschaften der reellen Zahlen ganz wesentlich für den ganzen zweiten Teil des Buches sind. In Satz 2.7 auf Seite 35 haben wir gesehen, dass es Zahlen gibt, mit denen wir gerne rechnen würden, die aber nicht in ℚ enthalten sind, zum Beispiel $\sqrt 2$. Die rationalen Zahlen haben noch Lücken. So wie ℤ aus ℕ und ℚ aus ℤ, kann man auch die reellen Zahlen ℝ aus ℚ formal konstruieren, indem man alle diese Lücken auffüllt. Es ist allerdings nicht ganz leicht, dieses Auffüllen von Lücken mathematisch präzise zu beschreiben und ich möchte daher auf die Konstruktion verzichten. Wir gehen einen anderen Weg, der sich schon mehrfach als nützlich erwiesen hat: wir sammeln die charakterisierenden Eigenschaften von ℝ, die Axiome der reellen Zahlen. Die reellen Zahlen sind dann für uns eine Menge, welche diese Axiome erfüllt. Etwas später werden wir feststellen, dass sich die reellen Zahlen gerade mit der Menge aller Dezimalbrüche identifizieren lassen. Die Axiome können wir dann auch in den folgenden Kapiteln verwenden um Sätze über die reellen Zahlen herzuleiten.