Verteilungsfunktion und empirische Verteilungsfunktion. Der Kolmogoroff-Smirnov-Test

Zusammenfassung

In Abschnitt 1.1 wurden zu einer vorgegebenen Stichprobe (x₁, x₂,…, x_n) die Funktionswerte ${\tilde F_n}\left( x \right)$ der empirischen Verteilungsfunktion ${\tilde F_n}$ definiert als die relative Häufigkeit derjenigen Stichprobenwerte, die kleiner oder höchstens gleich x sind. Es sei (x₁, x₂,…, x_n) eine einfache Stichprobe, d. h. die Stichprobenwerte x_i sind Realisierungen von (stochastisch) unabhängigen Zufallsvariablen X_i für i = 1, 2,…, n, welche alle die gleiche Verteilungsfunktion F besitzen. Dann ist für jedes fest vorgegebene x ∈ R der Funktionswert ${\tilde F_n}\left( x \right)$ einer Zufallsvariablen

$${F_n}\left( x \right) = {F_n}\left( {{X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n};x} \right),$$

(7.1)

die von den Zufallsvariablen X₁,…, X_n und dem Parameter x abhängt. Die Zufallsvariable F_n (x) kann höchstens die Werte $0,\frac{\text{1}} {\text{n}},\frac{\text{2}} {\text{n}}, \ldots, \frac{{\text{n - 1}}} {\text{n}},1$ annehmen. Für die Verteilung der diskreten Zufallsvariablen F_n zeigen wir die folgenden beiden Sätze.