Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen

Zusammenfassung

Die Untersuchung einer Funktion bezüglich ihres Verhaltens im Definitionsbereich wird als „Kurvendiskussion“ bezeichnet. Im einzelnen werden folgende Besonderheiten untersucht:

• 1. Definitionsbereich (bei ganzrationalen Funktionen ist D = IR)

• 2. Symmetrie-Eigenschaften

• Punktsymmetrie zum Ursprung: nur ungerade Potenzen Achsensymmetrie zur y-Achse: nur gerade Potenzen

• 3. Verhalten der Funktion für x → ∞ und x → - ∞ Bei ganzrationalen Funktionen ist der Term xn bestimmend, d.h. f(x) verhält sich für $\left| x \right| \to \infty {\kern 1pt} wie{\kern 1pt} {x^{n}}$.

• 4. Nullstellen N (= Schnittpunkte mit der x-Achse) Berechnung mit f(x) = 0

• 5. Schnittpunkte mit der y-Achse Berechnung mit x = 0

• 6. Extrema E (= Hoch- und Tiefpunkte) Berechnung mit f’(x) = 0 Maximum: f’(x) < 0 Minimum: f’(x) > 0

• 7. Wendepunkte W (evtl. mit Krümmungsverhalten und Wendetangente) Berechnung mit f”(x) = 0

• 8. Graph (Skizze des Funktionsgraphen mit Hilfe der berechneten Punkte u. Steigungen)