Wege im ℝⁿ

Zusammenfassung

Schon im ℝ² lassen sich Kurven nicht immer als Graphen einer reellen Funktion f: ℝ → ℝ darstellen. So müssen beispielsweise für die durch {(x,y): x² + y² = 1} definierte Punktmenge des Einheitskreises im ℝ² oberer und unterer Kreisbogen durch $y={{f}_{1}}\left( x \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ und $y={{f}_{2}}\left( x \right)=-\sqrt{1-{{x}^{2}}},x\in [-1,1]$, gesondert dargestellt werden. Eine andere Möglichkeit der Beschreibung der Punktmenge bietet eine Parameterdarstellung {(x,y): x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π]} mit dem Parameter t ∈ [0, 2π] als Variable. Dann ist in der Tat x²+y² = cos² t+sin² t = 1 und wegen t ∈ [0, 2π] ist der gesamte Einheitskreis erfasst. Offenbar liegt bei dieser Parameterdarstellung eine Abbildung X: ℝ → ℝ² vor.