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Allgemeine Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Differentialgleichung n-ter Ordnung

  • Harro Heuser
Part of the Mathematische Leitfäden book series (MLF)

Zusammenfassung

Wir nehmen an, eine Beutepopulation B lebe ausschließlich von einem unerschöpflichen Nahrungsvorrat N. Ihr einziger natürlicher Feind sei die Raubpopulation R, und diese wiederum lebe ausschließlich von B (man denke — mit Einschränkungen — etwa an Hasen und Füchse). Ohne B würde sich R wegen Nahrungsmangel nach dem natürlichen Abnahmegesetz \(\dot{R}(t)=-{{\alpha }_{1}}R(t)\) vermindern (α1>0). Die Anwesenheit von B ermöglicht jedoch eine Vermehrung von R, und zwar mit einer Rate, die von der Häufigkeit der Begegnungen zwischen Raub- und Beutetieren abhängen wird; versuchsweise unterstellen wir deshalb, sie sei proportional zu R(t)B(t), also = ß1 R(t)B(t) (β1> 0). Insgesamt wird man also für die Änderungsrate \(\dot{R}\) den Ansatz \(\dot{R}=-{{\alpha }_{1}}R+{{\beta }_{1}}RB\) machen. Analoge Überlegungen führen zu \(\dot{B}={{\alpha }_{2}}B-{{\beta }_{2}}RB\) (α2, β2>0). Die Wechselwirkung zwischen R und B wird somit beschrieben durch das System der sogenannten Lotka-Volterraschen Gleichungen
$$ {}_{\dot{B}={{\alpha }_{2}}B-{{\beta }_{2}}RB}^{\dot{R}=-{{\alpha }_{1}}R+{{\beta }_{1}}RB}\left( {{\alpha }_{K}},{{\beta }_{K}}positiveKons\tan ten \right) $$
(59.1)
Wenn wir diese Wechselwirkung zwischen den beiden Populationen zur Zeit t0 = 0 beginnen lassen und R0, B0 (>0) die Anfangsbestände sind, so ergeben sich die (theoretischen) Bestände R(t), B(t) zur Zeit t> 0 als Lösung des Systems (59.1) unter den Anfangsbedingungen R(0) = R0, B(0) = B0.

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Copyright information

© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004

Authors and Affiliations

  • Harro Heuser
    • 1
  1. 1.KarlsruheDeutschland

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