Das Vollständigkeitsaxiom

Zusammenfassung

Mithilfe der bisher behandelten Axiome läßt sich noch nicht die Existenz von Irrationalzahlen beweisen, denn alle diese Axiome gelten auch im Körper der rationalen Zahlen. Bekanntlich gibt es (was schon die alten Griechen wußten) keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Also läßt sich aus den bisherigen Axiomen noch nicht einmal die Existenz der Quadratwurzel aus 2 beweisen. Es ist ein weiteres Axiom nötig, das sogenannte Vollständigkeitsaxiom. Aus diesem folgt unter anderem, daß jeder unendliche Dezimalbruch (ob periodisch oder nicht) gegen eine reelle Zahl konvergiert.