Zusammenfassung
Nächst den reellen Vektorräumen besitzen die komplexen Vektorräume für die Anwendungen die größte Bedeutung.
Wir besprechen zunächst einige Besonderheiten komplexer Vektorräume, beweisen dann den algebraischen Fundamentalsatz in C und geben schließlich eine Anwendung auf die Jordansche Normalform. Soweit Überlegungen parallel zu früheren Entwicklungen laufen, werden wir uns hier etwas kürzer fassen.
Wichtig sind vor allem die Wechselbeziehungen zwischen reellen und komplexen Vektorräumen, da komplexe Probleme häufig durch Realisation und reelle Fragen durch Komplexifizierung vereinfacht werden können.
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Literatur
Existenz und Eindeutigkeit der Jordanschen Normalform bleiben, wie formuliert, auch für endliche Körper richtig, und zwar einschließlich Beweis. Man hat lediglich einen allgemeineren Polynombegriff zugrunde zu legen (vgl. Aufgabe 8 [1.2]).
Beim Übergang zum charakteristischen Polynom folgt daraus, daß konjugiert komplexe Eigenwerte von gleicher algebraischer Vielfachheit sind (was für jedes reelle Polynom zutrifft).
Die Vorzeichen wahl in (19) ist eine (willkürliche) Konvention.
Das ist bezüglich (22) selbst dann der Fall, wenn die Koppelung (33) nicht vorgenommen wird, da die Relation zwischen zwei Matrizen, die den gleichen Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen darstellen, allein von den Koeffizienten des zugehörigen Basiswechsels bestimmt wird („Ähnlichkeitstransformation”).
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© 1993 Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden
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Walter, R. (1993). Komplexe Vektorräume. In: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-91538-2_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-91538-2_4
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-528-18584-8
Online ISBN: 978-3-322-91538-2
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