Feinstruktur spezieller Endomorphismen euklidischer Vektorräume

Zusammenfassung

Um die Feinstruktur eines Endomorphismus L : V → V zu verstehen, wird man versuchen, den Raum V in Untervektorräume zu zerlegen, auf denen L in besonders einfacher Weise operiert. Die entsprechende Matrixdarstellung von L wird dann eine übersichtliche Gestalt erhalten, z.B. im Falle der Existenz einer Eigenbasis eine Diagonalgestalt. Diese optimale Situation wird zwar nicht immer erreichbar sein, jedoch gibt es dann allgemeinere Normalformen, die die Wirkungsweise von L ebenfalls sehr gut beschreiben.

Wir behandeln hier unter diesem Aspekt verschiedene Typen von Endomorphismen euklidischer Vektorräume (endlicher Dimension), wobei es darauf ankommt, die Normalform nicht nur an den gegebenen Endomorphismus L, sondern auch an die euklidische Struktur von V anzupassen. Dabei stützen wir uns ausschließlich auf reelle Hilfsmittel, insbesondere auf die Methode des Rayleigh-Quotient en symmetrischer Endomorphismen, die in Form entsprechend verallgemeinerter Variationsprinzipien auch bei unendlicher Dimension große Bedeutung erlangt hat. Weitere Typen von Endomorphismen lassen sich auf den symmetrischen Fall zurückführen.

Auf das Normalformenproblem allgemeiner Endomorphismen kommen wir im folgenden Abschnitt 3.3 zurück, stellen aber hier bereits einige Grundlagen dafür zusammen. Natürlich dürfen wir stets V ≠ 0 annehmen.