Elementare Theorien

Zusammenfassung

Im folgenden soll der Begriff der (formalisierten) elementaren Theorie behandelt werden, wie er heute allgemein in der mathematischen Grundlagenforschung verwendet wird. Eine elementare Theorie ist dabei ein spezieller Kalkül im Sinne der Ausführungen des § 12 aus Band I. Die Spezialisierung besteht vor allem darin, daß die Ausdrucksmenge A einer elementaren Theorie grundsätzlich die Menge aller Ausdrücke einer elementaren Sprache, d. h. die Menge ausd ^B aller Ausdrücke über einer gegebenen Basis B ist. Das zugehörige semiotische Quadrupel besteht demgemäß aus der Menge M aller Zeichenreihen^l) dieser Sprache, der Menge E aller Grundzeichen der Sprache, der leeren Zeichenreihe und der durch das Hintereinanderschreiben von Zeichenreihen repräsentierten Verkettungsrelation. Als Ableitbarkeitsoperator F einer elementaren Theorie wird in der Regel der Operator Bw ^B bzw. der zu ihm umfangsgleiche Operator Fl ^B genommen. Hinsichtlich der Satzmenge S ist (vgl. I, S. 177) zwischen elementaren Theorien mit semantisch definierter Satzmenge und Theorien mit syntaktisch definierter Satzmenge zu unterscheiden.²) Eine Theorie mit semantisch definierter Satzmenge liegt vor, wenn die Menge S als Menge ag _Σ ^B, der in einer gegebenen B-Algebra Σ allgemeingültigen B-Ausdrücke charakterisiert ist. Bei einer Theorie mit syntaktisch definierter Satzmenge ist ein „Axiomensystem“ X (also eine Menge X von B-Ausdrücken) vorgegeben, und S als Ableitungsmenge F(X) charakterisiert; dabei wird in der Regel vorausgesetzt, daß die Menge X entscheidbar ist. Es sind dann sämtliche an einen Kalkül gestellten Bedingungen (vgl. I, S. 177) erfüllt. Insbesondere ist die Satzmenge S in beiden Fällen deduktiv abgeschlossen, d.h. F(S) ≦ S.