Nichtlineare Anfangswertaufgaben

Zusammenfassung

Bereits in Bemerkung 7 im Anschluß an Satz 5.1.1 war auf den Umstand hingewiesen worden, daß die dort behandelten Typen halblinearer Anfangswertaufgaben noch nicht die allgemeinste Form halblinearer Aufgaben erster Ordnung (in t) darstellen und beispielsweise den Fall

$$\eqalign{ & {u_t} = {u_{xx}} + f(t,x,u,{u_x})\quad ,\quad O \leqq t \leqq T \cr & u(x,O) = {u_o}(x) \cr} $$

(1)

nicht umfassen. Einen Ausweg bot sich hier wie auch für allgemeinere nichtlineare Anfangswertaufgaben durch Überführung in Anfangswertaufgaben mit Systemen quasilinearer Differentialgleichungen an (vergleiche Beispiel 4 in Abschnitt 1.1). Andererseits kann die Realisierung solcher Transformationen schwierig oder aufwendig oder auch unmöglich sein, und man muß dann der betrachteten nichtlinearen Aufgabe direkt ein Differenzenverfahren gegenüberstellen. So untersuchte u.a. Stetter [104] nichtlineare Aufgaben Au = 0 und Approximationen F_h u_n = 0 (mit eingearbeiteten Anfangs-, bzw. Randbedingungen) und gab eine hinreichende Konvergenzbedingung an; Spijker [100] formulierte Äquivalenzsätze für diese Probleme.