Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher

Zusammenfassung

Die Ableitung einer reellen Funktion einer reellen Veränderlichen an einer Stelle x₀ ∈ D(f) haben wir definiert als

$$ % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfKttLearuavP1wzZbItLDhis9wBH5garm % Wu51MyVXgaruWqVvNCPvMCaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9 % q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir % -Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGa % aeqabaWaaeaaeaaakeaaqaaaaaaaaaWdbiabdAgaMjabcEcaNmaabm % aapaqaa8qacqWG4baEpaWaaSbaaSqaa8qacqaIWaama8aabeaaaOWd % biaawIcacaGLPaaacqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaemizaqMaemOzay % gapaqaa8qacqWGKbazcqWG4baEaaGaeiiFaW3damaaBaaaleaapeGa % emiEaGNaeyypa0JaemiEaG3damaaBaaameaapeGaeGimaadapaqaba % aaleqaaOWdbiabg2da98aadaWfqaqaa8qacyGGSbaBcqGGPbqAcqGG % TbqBaSWdaeaapeGaemiEaGNaeyOKH4QaemiEaG3damaaBaaameaape % GaeGimaadapaqabaaaleqaaOWdbmaalaaapaqaa8qacqWGMbGzdaqa % daWdaeaapeGaemiEaGhacaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0IaemOzay2aae % Waa8aabaWdbiabdIha49aadaWgaaWcbaWdbiabicdaWaWdaeqaaaGc % peGaayjkaiaawMcaaaWdaeaapeGaemiEaGNaeyOeI0IaemiEaG3dam % aaBaaaleaapeGaeGimaadapaqabaaaaOWdbiabg2da98aadaWfqaqa % a8qacyGGSbaBcqGGPbqAcqGGTbqBaSWdaeaapeGaemiAaGMaeyOKH4 % QaeGimaadapaqabaGcpeWaaSaaa8aabaWdbiabdAgaMnaabmaapaqa % a8qacqWG4baEpaWaaSbaaSqaa8qacqaIWaama8aabeaak8qacqGHRa % WkcqWGObaAaiaawIcacaGLPaaacqGHsislcqWGMbGzdaqadaWdaeaa % peGaemiEaG3damaaBaaaleaapeGaeGimaadapaqabaaak8qacaGLOa % Gaayzkaaaapaqaa8qacqWGObaAaaGaeiilaWcaaa!7C3B! f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{df}}{{dx}}{|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}, $$

falls der Grenzwert existiert. Auf Funktionen mehrerer Veränderlicher lässt sich diese Definition nicht unmittelbar übertragen, da eine Division durch X − X₀ = H ∈ ℝⁿ nicht erklärt ist. Wir können jedoch analog eine partielle Differentiation erkären, wenn wir alle Variablen bis auf eine konstant halten und die resultierende Funktion nach eben dieser Variablen differenzieren.