Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit variablen Koeffizienten

Zusammenfassung

Zu Beginn der Nr. 4 waren wir im Zusammenhang mit Wachstumsfragen auf die Differentialgleichung $\dot u - \alpha \left( t \right)u = s\left( t \right)$ gestoßen. Ein Mikrofon in einem RLC-Kreis ist nichts anderes als eine ingeniöse Vorrichtung, die unter dem Einfluß von Luftschwingungen ihren elektrischen Widerstand ändert und so dieselben in elek­trische Schwingungen übersetzt; die zugehörige Stromdifferentialgleichung hatdann bei konstanter EMK die Gestalt $\ddot{J} + \frac{{R\left( t \right)}}{L}\dot{J} + \frac{1}{{LC}}J = 0.$ Alle diese Differentialgleichungen haben die Bauart

$$ {{u}^{\left( n \right)}}+{{a}_{n-1}}\left( t \right){{u}^{\left( n-1 \right)}}+...{{a}_{1}}\left( t \right)\dot{u}+{{a}_{0}}\left( t \right)u+s\left( t \right), $$

(19.1)

wobei natürlich an die Stelle der „Zeit“-Variablen t ohne weiteres auch eine „Orts”-Variable, etwa x, an die Stelle von u irgendein anderer Buchstabe, etwa y, treten und (19.1) dann so aussehen kann:

$$ {{y}^{\left( n \right)}}+{{a}_{n-1}}\left( x \right){{y}^{\left( n-1 \right)}}+...+{{a}_{1}}\left( x \right){y}'+{{a}_{0}}\left( x \right)y=s\left( x \right). $$

(19.2)

(19.1) nennt man lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung; den in der Überschrift gebrauchten Zusatz „mit variablen Koeffizienten“ läßt man gewöhn­lich weg. Ist s(t)≡0, so wird sie homogen, andernfalls inhomogen genannt. Die Differentialgleichung

$$ {{u}^{\left( n \right)}}+{{a}_{n-1}}\left( t \right){{u}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}\left( t \right)\dot{u}+{{a}_{0}}\left( t \right)u=0 $$

(19.3)

heißt die zu (19.1) gehörende homogene Gleichung. Trivialerweise wird sie immer von u(t) ≡ 0 befriedigt.

(19.1) unterscheidet sich von (16.1) nur dadurch, daß nunmehr die Koeffizienten a _k nicht mehr konstant, sondern variabel sind, genauer: sie sind reellwertige Funktionen auf einem gemeinsa­men Definitionsintervall J. Dieser Unterschied wird sich kaum auf die Lösungstheorie, sehr stark jedoch auf die Lösungspraxis auswirken.

Quoique la science du Calcul ait été portée dans ces derniers temps au plus haut degré de perfection, il ne parait pas cependant pas qu’on se soit beaucoup avancé dans l’application de cette science aux phénomènes de la nature.

Joseph Louis Lagrange im Jahre 1759

Ce ne sont pas les principes mécaniques, qui nous abandonnent dans ces recher­ches; c’est plutôt l’analyse, qui n’est pas encore portée à ce degré de perfection qu’il faudroit pour ces sortes de question.

Leonhard Euler im Jahre 1753