Advertisement

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit variablen Koeffizienten

  • Harro Heuser
Part of the Mathematische Leitfäden book series (MLF)

Zusammenfassung

Zu Beginn der Nr. 4 waren wir im Zusammenhang mit Wachstumsfragen auf die Differentialgleichung \( \dot u - \alpha \left( t \right)u = s\left( t \right) \) gestoßen. Ein Mikrofon in einem RLC-Kreis ist nichts anderes als eine ingeniöse Vorrichtung, die unter dem Einfluß von Luftschwingungen ihren elektrischen Widerstand ändert und so dieselben in elek­trische Schwingungen übersetzt; die zugehörige Stromdifferentialgleichung hatdann bei konstanter EMK die Gestalt \( \ddot{J} + \frac{{R\left( t \right)}}{L}\dot{J} + \frac{1}{{LC}}J = 0. \) Alle diese Differentialgleichungen haben die Bauart
$$ {{u}^{\left( n \right)}}+{{a}_{n-1}}\left( t \right){{u}^{\left( n-1 \right)}}+...{{a}_{1}}\left( t \right)\dot{u}+{{a}_{0}}\left( t \right)u+s\left( t \right), $$
(19.1)
wobei natürlich an die Stelle der „Zeit“-Variablen t ohne weiteres auch eine „Orts”-Variable, etwa x, an die Stelle von u irgendein anderer Buchstabe, etwa y, treten und (19.1) dann so aussehen kann:
$$ {{y}^{\left( n \right)}}+{{a}_{n-1}}\left( x \right){{y}^{\left( n-1 \right)}}+...+{{a}_{1}}\left( x \right){y}'+{{a}_{0}}\left( x \right)y=s\left( x \right). $$
(19.2)
(19.1) nennt man lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung; den in der Überschrift gebrauchten Zusatz „mit variablen Koeffizienten“ läßt man gewöhn­lich weg. Ist s(t)≡0, so wird sie homogen, andernfalls inhomogen genannt. Die Differentialgleichung
$$ {{u}^{\left( n \right)}}+{{a}_{n-1}}\left( t \right){{u}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}\left( t \right)\dot{u}+{{a}_{0}}\left( t \right)u=0 $$
(19.3)
heißt die zu (19.1) gehörende homogene Gleichung. Trivialerweise wird sie immer von u(t) ≡ 0 befriedigt.

(19.1) unterscheidet sich von (16.1) nur dadurch, daß nunmehr die Koeffizienten a k nicht mehr konstant, sondern variabel sind, genauer: sie sind reellwertige Funktionen auf einem gemeinsa­men Definitionsintervall J. Dieser Unterschied wird sich kaum auf die Lösungstheorie, sehr stark jedoch auf die Lösungspraxis auswirken.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Copyright information

© B. G. Teubner, Stuttgart 1989

Authors and Affiliations

  • Harro Heuser
    • 1
  1. 1.Universität KarlsruheKarlsruheDeutschland

Personalised recommendations