Zusammenfassung und Ausblick

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit ist die Theorie der optimalen Rekonstruktion (optimal recovery) konsequent auf das Problem der Rekonstruktion von Funktionswerten aus bekannten Zellmitteln im Rahmen von Finite-Volumen-Methoden zur numerischen Lösung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen angewendet worden. Damit konnten nicht nur die klassischen polynomialen ENO-Techniken interpretiert werden, sondern es ergaben sich ganze Klassen von neuen optimalen Rekonstruktionen, die zu den radialen Basisfunktionen gehören. Deren Optimalität im Sinne von Micchelli und Rivlin wurde gezeigt und der zugehörige Semi-Hilbert-Raum im Fall der Plattensplines explizit konstruiert. Ein endlichdimensionales Optimalitätsprinzip bei der Interpolation mit radialen Basisfunktionen nach Wu und Schaback konnte auf den Rekonstruktionsfall übertragen werden, und die Äquivalenz mit dem Optimalitätsbegriff nach Micchelli und Rivlin wurde bewiesen. Neue radiale Basisfunktionen mit kompaktem Träger wurden auf den Rekonstruktionsfall angewendet und zeigten hervorragende numerische Eigenschaften.