Die DFT und die FFT

Zusammenfassung

In Abschnitt 4.3 wurde gezeigt, wie für ein beliebiges diskretes Signal x[n] die Fouriertransformierte (FTD) definiert wird. Wir wiederholen an dieser Stelle noch einmal die Gleichungen für die Hin- und Rücktransformation (Gleichungen 4.18 und 4.19) und verwenden dabei die relative Frequenz θ = ωT:

$$X\left( {{e}^{j\theta }} \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{x}\left[ nT \right]{{e}^{-jn\theta }}(FTD)$$

(5.1)

$$x\left[ n \right]=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{X\left( {{e}^{j\theta }} \right){{e}^{jn\theta }}d\theta }(IFTD)$$

(5.2)

Wir betrachten nun den speziellen Fall der periodischen Funktion x_p [n] mit der Periode N, so daß für alle n gilt:

$${{x}_{p}}\left[ n \right]={{x}_{p}}\left[ n+lN \right]mitl=0,\pm 1,\pm 2\ldots $$

(5.3)

Die Gleichungen (5.1) und (5.2) lassen sich nicht ohne weiteres auf dieses Signal anwenden, da bei der Berechnung der Summe und des Integrals Konvergenzprobleme auftreten. Deshalb geht man bei periodischen diskreten Signalen, um eine Darstellung im Frequenzbereich zu erhalten, anders vor. Wir verwenden dabei unsere Vorkenntnisse über x_p[n] und wissen, daß bei Auftreten von periodischem x_p [n]:

• 1. bei einer Beschreibung im Frequenzbereich nur solche Beiträge auftreten, die ein vielfaches der Grundfrequenz θ₀, einschließlich Beiträge bei θ = 0, sind. Der Wert der Grundfrequenz ist durch θ₀ = 2π/N gegeben. Das kann folgendermaßen eingesehen werden: Ein cosinusföimiges Signal dieser Frequenz kann formal als cos(2πn/N+φ), wobei φ eine beliebige Phase ist, dargestellt werden. Die Periode dieses Signals ist genau N und stellt die Grundharmonische von x_p [n] dar.

• 2. die gesamte Frequenzinformation aus einer einzigen Periode des Signals x _p [n] gewonnen werden kann.