Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Zusammenfassung

Von besonderer Bedeutung für eine Vielzahl von Anwendungen sind lineare Differentialgleichungen, deren Koeffizienten konstante Größen sind. Auf solche Gleichungen stößt man zumeist durch Idealisierungen in der mathematischen Modellbildung, indem Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen in Form linearer Beziehungen angesetzt werden. Der Leser sei etwa daran erinnert, daß die Bewegung eines an eine Feder gebundenen Massenpunktes durch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben wird, wenn man die Feder als ideal annimmt, das heißt, wenn man davon ausgeht, daß die Kraft der Feder proportional zur Änderung ihrer Länge ist; ferner sei auf die Berechnung von Ausgleichsvorgängen in elektrischen Netzwerken verwiesen, die unter der Annahme linearer Widerstände, also solcher, deren Kennlinie eine Gerade ist, auf die Lösung eines Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanter Koeffizientenmatrix führt. Solange die in Betracht zu ziehenden physikalischen Größen in Bereichen variieren, in denen lineare Ansätze realistisch sind, geben die Lösungen der betreffenden Gleichungen auch ein mehr oder minder getreues Ebenbild der realen physikalischen Verhältnisse.