Skip to main content
SpringerLink
Log in

Optimierende Verfahren

  • Chapter
Losgrößenplanung in PPS-Systemen

  • 232 Accesses

Zusammenfassung

Zur Lösung des Problems (GLP 1) steht mit dem auf der dynamischen Programmierung basierenden Wagner/Whitin-Algorithmus120 bereits seit 1958 ein optimierendes Verfahren zur Verfugung, das mit einer Verfahrenskomplexität von O(T2) lange Zeit als einziges rechenbares, aber — insbesondere hinsichtlich eines Einsatzes in PPS-Systemen — immer noch sehr aufwendiges Lösungsverfahren galt. Aufgrund beschränkter EDV-Ressourcen richtete sich das Interesse daher in der Vergangenheit vor allem auf die Entwicklung und Anwendung heuristischer Verfahren.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this chapter

Log in via an institution
Chapter
USD 29.95
Price excludes VAT (USA)
  • Available as PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
eBook
USD 49.95
Price excludes VAT (USA)
  • Available as PDF
  • Read on any device
  • Instant download
  • Own it forever
Softcover Book
USD 74.99
Price excludes VAT (USA)
  • Compact, lightweight edition
  • Dispatched in 3 to 5 business days
  • Free shipping worldwide - see info

Tax calculation will be finalised at checkout

Purchases are for personal use only

Institutional subscriptions

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. Vgl. Wagner/Whitin (1958), S. 89 ff.

    Google Scholar 

  2. Vgl. Federgruen/Tzur (1991), S. 909 und Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S145.

    Google Scholar 

  3. Vgl. Wagner/Whitin (1958), S. 91.

    Google Scholar 

  4. Vgl. auch Wagner/Whitin (1958), S. 91. Einen alternativen Beweis durch die Interpretation als Netz-werkflußproblem führt Zangwill (1969), S. 508 f. in Verbindung mit Zangwill (1968), S. 432.

    Google Scholar 

  5. Vgl. auch Wagner/Whitin (1958), S. 91.

    Google Scholar 

  6. Vgl. Pan/Liao (1994), S. 830.

    Google Scholar 

  7. Dies erklärt auch die Begriffswahl Regenerationsperiode.

    Google Scholar 

  8. Einen formalen Beweis dieser Aussage liefern Wagner/Whitin (1958), S. 92.

    Google Scholar 

  9. Eine Aufspaltung umfangreicher Losgrößenprobleme als Grundprinzip zur Komplexitätsreduzierung schlagen Golany/Maman/Yadin (1992), S. 495 ff. vor.

    Google Scholar 

  10. Vgl. auch Chyr/Lin/Ho (1990), S. 258, Aryanezhad (1992), S. 428.

    Google Scholar 

  11. Vgl. Heady/Zhu (1994), S. 57. Pan/Liao (1994), S. 832 und Gleason (1971), S. 17.

    Google Scholar 

  12. Zu den Methoden der linearen und gemischt-ganzzahligen linearen Programmierung sei an dieser Stelle auf die einschlägige OR-Literatur verwiesen, z.B. Kistner (1993b), Stepan/Fischer (1996), Domschke/Drexl (1995), Hillier/Lieberman (1997).

    Google Scholar 

  13. Vgl. dazu auch Pan/Liao (1994), S. 829.

    Google Scholar 

  14. Berücksichtigt man explizit, daß der Lagerbestand einer optimalen Lösung am Ende des Betrachtungszeitraums den Wert Null annimmt, verringert sich die Zahl der kontinuierlichen Variablen auf 2 • T — 1.

    Google Scholar 

  15. Vgl. Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S146, Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 294.

    Google Scholar 

  16. Vgl. Pan/Liao (1994), S. 831.

    Google Scholar 

  17. Vgl. Krarup/Bilde (1977), S. 172 f., Ferreira/Vidal (1984), S. 576 f., Bitran/Magnanti/Yanasse (1984), S. 1131, Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S147 und Aryanezhad (1992), S. 426 f.

    Google Scholar 

  18. Vgl. Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S146.

    Google Scholar 

  19. Einige Autoren — z.B. Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S146 — formulieren die Nebenbedingung (3.11) für die letzte Periode T als Gleichheits-Restriktion. Dies entspräche in der Formulierung (GLP 1) der Bedingung IT = 0 und ist aus den bereits erwähnten Gründen nicht erforderlich.

    Google Scholar 

  20. Vgl. auch Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S146 und Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 294.

    Google Scholar 

  21. Vgl. Abschnitt 3.5.2.

    Google Scholar 

  22. Vgl. Pan/Liao (1994), S. 831.

    Google Scholar 

  23. Da im Optimum IT = 0 gilt, läßt sich die Anzahl geringfügig auf T -1 Zustandsvariablen reduzieren.

    Google Scholar 

  24. Vgl. Ferreira/Vidal (1984), S. 577, Hoffinan/Kruskal (1956), S. 223 ff., Hu (1972), S. 149 ff. Eine Matrix A heißt unimodular, wenn alle Unterdeterminanten die Werte 1, -1 oder 0 aufweisen (vgl. Hu (1972), S. 150 und Ferreira/Vidal (1984), S. 577).

    Google Scholar 

  25. Vgl. zu ähnlichen Formulierungen auch Ferreira/Vidal (1984), S. 576 und Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S147.

    Google Scholar 

  26. Alternativ können die Produktionsmengen auch — analog zur vereinfachten Zielfunktion des Problems (GLP 2) — mit den “Produktionskosten” Ht, T+1 bewertet werden. Die dabei vernachlässigte Kostenkonstante in der Zielfunktion muß dann allerdings bei der Bestimmung der minimalen Gesamtkosten berücksichtigt werden. Eine solche Zielfunktion verwenden z.B. Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S147.

    Google Scholar 

  27. Solche Formulierungen finden sich z.B. bei Ferreira/Vidal (1984), S. 576 und Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S147.

    Google Scholar 

  28. Zu ähnlichen Formulierungen vgl. auch Krarup/Bilde (1977), S. 172 f., Ferreira/Vidal (1984), S. 576 f., Ary-anezhad (1992), S. 426 f. und Bitran/Magnanti/Yanasse (1984), S. 1131.

    Google Scholar 

  29. Zum Beweis der Unimodularität der Koeffizientenmatrix von (GLP 5) vgl. Ferreira/Vidal (1984), S. 577 f.

    Google Scholar 

  30. Vgl. Ferreira/Vidal (1984), S. 577.

    Google Scholar 

  31. Vgl. Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S147.

    Google Scholar 

  32. Zur Dualitätstheorie und den Konstruktionsregeln eines Duals vgl. z.B. Kistner (1993b), S. 35 ff. und Gal (1991), S. 92 ff.

    Google Scholar 

  33. Eine modifizierte Formulierung geben Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S152 an. Duale zu Problemen vom Typ (GLP 5) stellen u.a. Ferreira/Vidal (1984), S. 580 und Aryanezhad (1992), S. 427 auf.

    Google Scholar 

  34. Vgl. im folgenden auch Aryanezhad (1992), S. 427.

    Google Scholar 

  35. Diese Interpretation der Dualvariablen ut, j folgt aus der Überlegung, daß die Restriktionen (3.30) nur dann bindend sind, wenn für die Dualvariablen ut, j. > 0 gilt. Die Rechte-Hand-Seite der Restriktionen entspricht den Kosten eines in Periode t aufgelegten Loses zur Bedarfsdeckung der Perioden t bis j. Sind die Restriktionen bindend, werden diese Kosten realisiert, d.h. die diese Kosten verursachende Losauflage ist optimal.

    Google Scholar 

  36. Zum Grundprinzip und zur Vorgehensweise der dynamischen Programmierung vgl. z.B. Bellman (1957), Schneeweiß (1974), Kistner (1993b), S. 201 ff., Hillier/Lieberman (1997), S. 316 ff, Stepan/Fischer (1996), S. 207 ff. und Domschke/Drexl (1995), S. 143 ff.

    Google Scholar 

  37. Vgl. Wagner/Whitin (1958), S. 89 ff.

    Google Scholar 

  38. Vgl. Evans (1985), S. 229 ff. und Chyr/Lin/Ho (1990), S. 255 ff.

    Google Scholar 

  39. Vgl. Chyr/Lin/Ho (1990), S. 255 ff. und Heady/Zhu (1994), S. 55 ff.

    Google Scholar 

  40. Vgl. Bellmao (1957).

    Google Scholar 

  41. Vgl. Stepan/Fischer (1996), S. 212 f.

    Google Scholar 

  42. Vgl. Evans (1985), S. 230.

    Google Scholar 

  43. Eine Beschreibung des Wagner/Whitin-Algorithmus geben neben Wagner/Whitin (1958), S. 89 ff. z.B. auch Kistner/Switalski (1988), S. 335 ff. Einen Algol-Programmcode formuliert Ohse (1969), S. 315 f., ein Turbo-Pascal-Listing präsentieren Saydam/McKnew (1987), S. 19.

    Google Scholar 

  44. So zum Beispiel bei Rana/Nandkeolyar (1993), S. 31 ff., die den Standard-Vorwärtsalgorithmus mit Hilfe einer Tabellenkalkulation durchführen, bei Fordyce/Webster (1984), die ein tabellarisches Lösungsschema präsentieren, sowie bei Evans (1985) und der verbal orientierten Darstellung des Vorwärtsalgorithmus in Kaimann (1968a), S. 84 ff. Dabei wird meist nicht erwähnt, daß diese Darstellungen des Wagner/Whitin-Algorithmus unvollständig sind.

    Google Scholar 

  45. Vgl. hierzu auch Abschnitt 5.2.

    Google Scholar 

  46. Vgl. Zabel (1964), S. 466.

    Google Scholar 

  47. Vgl. Wagner/Whitin (1958), S. 93.

    Google Scholar 

  48. Vgl. Evans (1985), S. 230 f., Saydam/McKnew (1987), S. 16 und Evans/Saydam/McKnew (1989), S. 160 f.

    Google Scholar 

  49. Bei der Gesamtzahl der Additionen und Multiplikationen ist zu berücksichtigen, daß für Ht,t und Mt,t keine Addition oder Multiplikation anfällt.

    Google Scholar 

  50. Vgl. Chyr/Lin/Ho (1990), S. 256 f.

    Google Scholar 

  51. Ergeben sich in einem t-periodigen Problem für li und lj identische Kosten, ist eine Optimalität von li sowohl im aktuellen Problem als auch in erweiterten Problemen zwar möglich; in diesen Fällen muß allerdings lj ebenfalls optimal sein, so daß Mehrfachlösungen auftreten.

    Google Scholar 

  52. Vgl. Chyr/Lin/Ho (1990), S. 258. In der folgenden Formulierung wurde das Original insofern erweitert, als neben echten Ungleichheitsbeziehungen auch der Fall gleicher Kostenwerte Berücksichtigung findet.

    Google Scholar 

  53. Vgl. Wagner/Whitin (1958), S. 92.

    Google Scholar 

  54. Neben Theorem 3.5 berücksichtigt der Originalalgorithmus von Wagner/Whitin auch eine Regel zur Bestimmung sogenannter Entscheidungshorizonte, die einen vorzeitigen Abbruch der Berechnung ermöglichen (vgl. dazu auch Abschnitt 5.4).

    Google Scholar 

  55. Vgl. Gleason (1971), S. 17, Pan/Liao (1994), S. 832 und Heady/Zhu (1994), S. 57.

    Google Scholar 

  56. Bei der erweiterten Rekursion wird Hl,t • dt bereits bei der Berechnung von F(l, t) ermittelt (vgl. (3.40)). Der Aufwand zur Überprüfung von Theorem 3.6 besteht in diesem Fall aus dem Vergleich zwischen Hl,t • dt und St.

    Google Scholar 

  57. Statt dessen wären dabei drei zusätzliche Überprüfungen von Theorem 3.6 erforderlich gewesen.

    Google Scholar 

  58. Die Voraussetzung aus Theorem 3.6 wäre erstmalig für l = 2 im 6-periodigen Problem erfüllt gewesen, d.h. es hätte lediglich auf die Überprüfung von l = 1 verzichtet werden können. Damit steht 14 Überprüfungen von Theorem 3.6 nur ein einziger eingesparter Kostenwert (der zwei Additionen und eine Multiplikation erfordert) gegenüber.

    Google Scholar 

  59. Zum Algorithmus von Federgruen/Tzur vgl. insbesondere Federgruen/Tzur (1991), S. 909 ff., aber auch Federgruen/Tzur (1994), S. 459 und Federgruen/Tzur (1995), S. 876 ff.

    Google Scholar 

  60. Vgl. im folgenden auch Federgruen/Tzur (1991), S. 909 ff.

    Google Scholar 

  61. Vgl. Federgruen/Tzur (1991), S. 914.

    Google Scholar 

  62. 182Eine letzte Produktion in Periode t bei Problemgrößen t* < t ist nicht möglich. Dies wäre auch insofern unzulässig, als die Kostendifferenz (3.72) auf den Ergebnissen des t-periodigen Teilproblems basiert.

    Google Scholar 

  63. Der hier beschriebene Algorithmus weicht geringfügig vom Originalalgorithmus ab. Zum Originalalgorithmus vgl. insbesondere den Pseudo-Programmcode in Federgruen/Tzur (1991), S. 921.

    Google Scholar 

  64. Vgl. auch Federgruen/Tzur (1991), S. 918 f. in Verbindung mit S. 920 f.

    Google Scholar 

  65. Vgl. S. 73 der vorliegenden Arbeit.

    Google Scholar 

  66. Vgl. dazu das Beispiel in Abschnitt 3.4.6.2.

    Google Scholar 

  67. Zum Verfahren von Wagelmans et AL. vgl. im folgenden auch Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S145 ff. und Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 293 ff. Die theoretischen Grundlagen des Verfahrens werden ausführlich bei Van Hoesel/Wagelmans/Moerman (1994), S. 312 ff. behandelt. Eine deutschsprachige, allerdings sehr knappe Beschreibung des Verfahrens geben Domschke/Scholl/Voß (1993), S. 115 ff.

    Google Scholar 

  68. Vgl. hierzu noch einmal Abschnitt 3.3.2 und Abschnitt 3.4.3.

    Google Scholar 

  69. Für einen formalen Beweis dieser Aussage vgl. Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S148.

    Google Scholar 

  70. Vgl. auch Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 295 und Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S148.

    Google Scholar 

  71. Vgl. auch Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 296.

    Google Scholar 

  72. Vgl. Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S151.

    Google Scholar 

  73. Vgl. auch Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 297 und Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S149.

    Google Scholar 

  74. Zur Verdeutlichung der Parallelen zum Verfahren von Federgruen/Tzur wird, in Abweichung vom Originalalgorithmus, die Menge N’(t) verwendet. Zum Originalalgorithmus vgl. den Pseudo-Programmcode in Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S150 f.

    Google Scholar 

  75. Falls die Tangentialperiode das erste Element aus N’(t) ist, kann lediglich die rechte Seite der Ungleichung (3.86) erfüllt sein. Tritt statt eines Tangentialpunktes ein Tangentialbereich auf, wird in (3.86) der rechte Endpunkt des Tangentialbereichs als Tangentialpunkt ausgewiesen.

    Google Scholar 

  76. Vgl. dazu auch Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 297 f.

    Google Scholar 

  77. Das Vorgehen dieser Variante ist in Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 298 und Van Hoesel/Wagelmans/ Moerman (1994), S. 320 f. skizziert.

    Google Scholar 

  78. Vgl. dazu auch die Laufzeituntersuchung in Van Hoesel/Wagelmans/Moerman (1994), S. 328 f.

    Google Scholar 

  79. Vgl. S. 73 der vorliegenden Arbeit.

    Google Scholar 

  80. Viele dieser Verfahren wurden — ebenso wie die Algorithmen von Federgruen/Tzur und Wagelmans ET AL. — für ein um zeitlich schwankende variable Produktionskosten erweitertes Losgrößenproblem formuliert, in dem das hier betrachtete Problem als Spezialfall enthalten ist.

    Google Scholar 

  81. Vgl. Aggarwal/Park (1993), S. 549 ff.

    Google Scholar 

  82. Vgl Ferreira/Vidal (1984), S. 580 ff., Bilde (1970) und Krarup/Bilde (1977). Zusätzlich formulieren Ferrei-ra/Vidal (1984), S. 584 ff. ein heuristisches Lösungsverfahren.

    Google Scholar 

  83. Vgl. Aryanezhad (1992), S. 425 ff.

    Google Scholar 

  84. Vgl. Van Hoesel/Wagelmans/Kolen (1991), S. 315 ff. und Barany/Van Roy/Wolsey (1984), S. 32 ff. 708 Vgl. Wagelmans/Van Hoesel/Kolen (1992), S. S152 ff.

    Google Scholar 

  85. Vgl. Jacobs/Khumawala (1987), S. 39 ff.

    Google Scholar 

  86. Vgl. Golany/Maman/Yadin (1992), S. 495 ff.

    Google Scholar 

  87. Zur Identifikation optimaler Produktions- oder Regenerationsperioden vgl. noch einmal die Ausführungen zu Theorem 3.2 in Abschnitt 3.2.

    Google Scholar 

  88. Bei Anwendung der dynamischen Programmierung reduziert sich beispielsweise die Komplexität von 0(T) auf O(max(Ti)2) (vgl. Golany/Maman/Yadin (1992), S. 496).

    Google Scholar 

  89. Vgl. dazu Fandel/François/Gubitz (1997), S. 223 ff.

    Google Scholar 

  90. Vgl. dazu u.a. Kistner/Steven (1993), S. 66 und Axsäter (1982), S. 339.

    Google Scholar 

  91. Vgl. Knolmayer (1985a), S. 412 und Aucamp (1985), S. 7.

    Google Scholar 

  92. Vgl. Blackburn/Millen (1980), S. 692, Aucamp (1985), S. 7 f., Baker (1989), S. 202 und Federgruen/Tzur (1994), S. 456 f.

    Google Scholar 

  93. Vgl. auch Federgruen/Tzur (1994), S. 457.

    Google Scholar 

  94. Zu Sensitivitätsanalysen optimierender Verfahren vgl. z.B. Van Hoesel/Wagelmans (1993), S. 291 ff. und Richter(1987),S.61ff.

    Google Scholar 

  95. Vgl. dazu auch Blackburn/Millen (1980), S. 691 f.

    Google Scholar 

Download references

Authors
  1. Andreas Recker
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Rights and permissions

Reprints and permissions

Copyright information

© 2000 Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden

About this chapter

Cite this chapter

Recker, A. (2000). Optimierende Verfahren. In: Losgrößenplanung in PPS-Systemen. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-90375-4_3

Download citation

  • DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-90375-4_3

  • Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag

  • Print ISBN: 978-3-8244-7118-8

  • Online ISBN: 978-3-322-90375-4

  • eBook Packages: Springer Book Archive

Publish with us

Policies and ethics

Search

Navigation