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Asymptotische Betrachtungsweisen parametrischer Verfahren

  • Hermann Witting
  • Ulrich Müller-Funk

Zusammenfassung

Auch wenn sich die folgenden Überlegungen und Begriffsbildungen vielfach auf Mehrstichproben- oder Regressionsprobleme übertragen lassen, sollen hier der Einfachheit und Klarheit halber zunächst vorwiegend Einstichprobenprobleme behandelt werden. Demgemäß bezeichnen X j j ∈ ℕ, st.u. ZG mit Werten in einem beliebigen festen Meßraum 픛0, 𝔅0). In Einstichprobenproblemen besitzen diese also dieselbe Verteilung F, die Element einer parametrischen Klasse 𝔉 = {F ϑ : ϑ ∈ ⊖ ⊂ ℝ k { sei. Bei asymptotischen Betrachtungen ist es zweckmäßig, an Stelle der beim Stichprobenumfang n eingehenden Beobachtungen X j , 1 ≤ j ≤ n, häufig gleich die gesamte Folge X = (X j : j ∈ ℕ) zugrundezulegen. Deren Wertebereich wird mit (𝔛, 𝔛) bezeichnet, derjenige des n-ten Anfangsabschnitts X (n) = (X 1,...,X n ) mit (𝔛(n), 𝔅(n)). Es gilt also (𝔛, 𝔅) = (𝔛0 (∞), 𝔛0 (∞)) und (𝔛(n), 𝔛(n)) = (𝔛0 (n), 𝔛0 (n))• Dabei wird zur Entlastung der Terminologie unterstellt, daß die auf der Stufe n betrachteten Statistiken T n nur von x (n) = (x 1,... , x n ) abhängen, also meßbare Abbildungen von (𝔛(n), 𝔛(n)) in einen von n unabhängigen Wertebereich (𝔗, 𝔇)) sind. Bei vorgegebenen ZG X j , j ∈ ℕ, werden Statistiken auch auf dem zugrundeliegenden WS-Raum (Ω, 𝔄, 𝕡) gelesen, d.h. in der Form T n = T n (X 1, • • •, X n ) geschrieben. Asymptotische Schätzer bzw. asymptotische Tests, also Folgen von Schätzern bzw. Tests, werden mit (T n ) bzw. ( φ n ) oder auch kurz mit T n bzw. φ bezeichnet.

Literatur

  1. 1).
    Formal hängen ML-Schätzer von den gewählten Versionen der Dichten ab. Gedanklich wird im folgenden die Existenz einer „kanonischen“ Version unterstellt. Zur Verallgemeinerung des ML-Ansatzes auf nicht-dominierte (nichtparametrische) Verteilungsannahmen vgl. 7.1.1.Google Scholar
  2. 4).
    Zu einer Liste von Beispielen, die zeigen, daß ML-Schätzer auch wenig wünschenswerte Eigenschaften besitzen, vgl. L. Le Cam: Intern. Stat. Reviews 58 (1990) 153–171.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  3. 5).
    In der robusten Statistik wird die entsprechende Sehätzmethode auch bei F ∉ verwendet.Google Scholar
  4. 6).
    Vgl. V. Strassen: Zeitschrift f. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 3 (1964) 211–226.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  5. 7).
    Vgl. auch H. Rootzén: Ann. Prob. 4 (1976) 456–463.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  6. 9).
    Vgl. E.L. Lehmann: Theory of Point Estimation, Wiley (1983) , Example 2.2.2.zbMATHGoogle Scholar
  7. 11).
    Vgl. A. Wald: Ann. Math. Stat. 20 (1949) 595–601.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  8. 12).
    Die hier gegebenen klassischen Voraussetzungen sind punktweise Forderungen an die µ-Dichten. Sie lassen sich erheblich abschwächen, nämlich im wesentlichen auf die IL2-Differenzierbarkeit der Verteilungsklasse. Zu dem recht umfänglichen Beweis vgl. L. Le Cam: Ann. Math. Stat. 41 (1970) 802–828.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  9. 13).
    Wie u.a. Beispiel 6.12 in 6.1.1 zeigt, läßt sich die Konsistenz (und auch die asymptotische Normalität) gelegentlich direkt nachweisen; vgl. auch die Beispiele 1.29 und 1.30.Google Scholar
  10. 14).
    Ein gänzlich anderer Beweis der asymptotischen Normalität von MK-Schätzern wird in 9.2.4 gegeben.Google Scholar
  11. 15).
    Insbesondere die Form (6.2.2) läßt erkennen, daß T(x) die Prüfgröße des Neyman-Pearson-Tests aus Satz 2.7 verallgemeinert.Google Scholar
  12. 16).
    Vgl. A.M. Mathai, R.K. Saxena: Generalized Hypergeometric Functions with Applications in Statistics and Physical Sciences, Lecture Notes in Mathematics 348 (1973) .zbMATHGoogle Scholar
  13. 17).
    Vgl. M. Eaton: Multivariate Statistics, A Vector Space Approach, Wiley (1983) ; section 7.4. Vgl. auch Aufg. 6.12.zbMATHGoogle Scholar
  14. 18).
    Man beachte, daß die Matrix L in eine Blockmatrix transformiert wird, deren Bausteine ausschließlich Diagonal- oder Nullmatrizen sind.Google Scholar
  15. 21).
    Diese Begriffsbildungen und die mit ihnen verbundene Vorgehensweise gelten in gleicher Weise für parametrische wie nichtparametrische Modelle, sofern der Abschluß H0305 bzw. K0305 und damit der Rand J := H0305K0305 sowie der offene Kern H030a erklärt sind. Zweckmäßigerweise wird man also über dem Parameterraum eine Metrik einführen. Ist ⊖ Teilmenge eines Rk, so bietet sich hierzu die euklidische Metrik (bei einer stetigen Parametrisierung) an. Bei nichtparametrischen Fragestellungen wird man eine problemangepaßte Metrik verwenden, welche die Verteilungskonvergenz impliziert, z.B. die Supremumsmetrik.Google Scholar
  16. 22).
    Die Randomisierung v n ist — wie sich in Satz 6.70 zeigen wird — typischerweise asymptotisch vernachlässigbar. Entsprechendes gilt für die Randomisierungen v 1n und v 2n in den zweiseitigen Tests der Form (6.2.32) .Google Scholar
  17. 23).
    Wie bereits erwähnt, wird sich in Satz 6.70 zeigen, daß bei stetiger Limesverteilung φ n o.E. als nicht-randomisiert angenommen werden kann.Google Scholar
  18. 24).
    Dabei bezeichne im folgenden wieder G α das α-Fraktil der Limesverteilung G. Google Scholar
  19. 26).
    Man beachte, daß in diesem Fall die Prüfgröße translations- und skaleninvariant ist, d.h. nur von einer gegenüber Translationen und Streckungen maximalinvarianten Statistik abhängt. Sie ist damit bereits finit unter ϑ ∈ 6 J verteilungsfrei.Google Scholar
  20. 27).
    Um bei derartigen Konfidenzintervallen nicht nur den (vorgegebenen asymptotischen) Vertrauenskoeffizienten 1 — α abzusichern, sondern auch deren Länge zu kontrollieren, hat man bei anderen Verteilungsannahmen sequentielle Methoden heranzuziehen.Google Scholar
  21. 28).
    In Band III wird sich zeigen, daß eine entsprechende Aussage auch im nichtparametrischen Rahmen gilt.Google Scholar
  22. 29).
    Vgl. C. Van Eeden, J.Th. Runnenburg: Stat. Neerl 14 (1960)4 . Wie dort gezeigt wird, ergeben sich entlang anderer Folgen (v n) andere Limesverteilungen, nämlich die in Null degenerierte Verteilung ε 0, die Poisson- bzw. die Binomialverteilung.CrossRefGoogle Scholar
  23. 30).
    Vgl. M.S. Bartlett: J. London Math. Soc. 13 (1938) 62–67.CrossRefGoogle Scholar
  24. 31).
    Wir verzichten hier und im folgenden vielfach auf die explizite Angabe von κ 0.Google Scholar
  25. 32).
    Wir verzichten hier auf die Einführung eines Symbols J, auch wenn bei der Konstruktion asymptotisch optimaler Tests gelegentlich — etwa in Beispiel 6.99 — geeignete, aus J gebildete Mengen von Verteilungsfolgen verwendet werden.Google Scholar
  26. 34).
    Vgl. etwa R. Horn, C. Johnson: Matrix Algebra (1985) , Theorem 4.22, S. 176.Google Scholar
  27. 35).
    Dieser Begriff geht zurück auf L. Le Cam: Univ. California Publ. Statist. 3 (1960) 37–98. Vgl. auch L. Le Cam, G. L. Yang: Asymptotics in Statistics, Some Basic Concepts, Springer (1990) sowie das in Fußnote 48 zitierte Buch von Le Cam.MathSciNetGoogle Scholar
  28. 36).
    In Analogie zu (6.3.2) gilt notwendigerweise limsup v n (L n = ∞) ≤ c < 1. Man beachte weiter, daß die Negation von „vollständig trennend“ verschieden ist von „nicht trennend“.Google Scholar
  29. 38).
    Vgl. J.P. Raoult: Lecture Notes in Mathematics 821 (1980) .Google Scholar
  30. 39).
    Produkt- und Summenbildungen beziehen sich im folgenden bei festem n auf j = 1,... ,n.Google Scholar
  31. 40).
    Die Bezeichnungen der Aussagen 6.124, 6.130 und 6.139 als 1.–3. Le Cam-Lemma gehen zurück auf J. Hájek: Ann. Math. Stat. 33 (1962) 1124–1147. Diese Arbeit ist auch grundlegend für die Anwendung der Benachbarheit in der Theorie der Rangtests; vgl. Kap. 9.Google Scholar
  32. 41).
    Unter einem Noether-Schema wird ein die Noether-Bedingung (5.3.22) erfüllendes System von Regressionskoeffizienten verstanden.Google Scholar
  33. 42).
    Da in der lokal asymptotischen Statistik die Umgebung einer festen Stelle ϑ ∈ ⊖ betrachtet wird, kann die Statistik S o.E. als unter ϑ zentriert angenommen werden; vgl. auch Definition 6.132.Google Scholar
  34. 43).
    Diese Formulierung, welche den methodischen Kern des nachfolgenden 2. Le Cam Lemmas 6.130 isoliert, verdanken wir einer persönlichen Mitteilung von H. Rieder.Google Scholar
  35. 44).
    Alle EW und Verteilungsaussagen sind, soweit nicht anders angegeben, unter dem Produktmaß u n = ⊗ F nj zu bilden. Hierbei wie im anschließenden Beweis sind Produkte, Summen und Maxima wie bereits in 6.3.1 stets bei festem n bzgl. j = l,..., n zu bilden.Google Scholar
  36. 45).
    Die Beziehung maxH(F nj , G nj) = o(1) impliziert sofort die Gültigkeit der UAN-Bedingung (5.3.6) für die ZG log L nj , j — 1,... , n, unter (u n) . Google Scholar
  37. 46).
    Vgl. R.B. Davies: Proc. Berkeley Conference in Honor of Jerzy Neyman and Jack Kiefer, Wadworth (1985) 841–864 und die dort zitierten Arbeiten von P. Jeganathan.Google Scholar
  38. 47).
    Vgl. I.V. Basawa, D.J. Scott: Lecture Notes in Statistics 17 (1982) .Google Scholar
  39. 48).
    Vgl. L. Le Cam: Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory, Springer (1986)zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  40. 48a).
    H. Strasser: Mathematical Theory of Statistics, Statistical Experiments and Asymptotic Decision Theory, De Gruyter (1985) .zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  41. 49).
    Zum mathematischen Hintergrund vgl. M. Eaton: Multivariate Statistics, A Vector Space Approach, Wiley (1983) , p. 73–74.zbMATHGoogle Scholar
  42. 50).
    Insbesondere im Spezialfall der Potenzen b(u) = u j, j ∈ IN, spricht man auch von Lehmann-Alternativen; vgl. E.L. Lehmann: Ann. Math. Stat. 24 (1953) 23–43.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  43. 51).
    Später wird eine zweite, auf Hilfssatz 6.119c und dem Normalkonvergenzkriterium aufbauende Möglichkeit aufgezeigt; vgl. Satz 6.146 und Anmerkung 6.147.Google Scholar
  44. 52).
    Gemäß 6.2.2 ist es gestattet, bei φ n und den nachfolgendem Test φ’ n die α-Fraktile der Prüfverteilungen sogleich durch diejenigen der Limesverteilungen zu ersetzen.Google Scholar
  45. 53).
    Vgl. hierzu P. Greenwood, A. Shiryayew: Contiguity and the Statistical Invariance Principle, Gordon and Breach (1985)zbMATHGoogle Scholar
  46. 53a).
    J. Jacod, A. Shiryayew: Limit Theorems for Stochastic Processes, Springer (1987) .zbMATHGoogle Scholar
  47. 55).
    Wie in Aufg. 5.6 zeigt man t n → t in L2(F) und damit Zum Martingalkonvergenzsatz für gerichtete Folgen von Sub-σ-Algebren vgl. auch J. Neveu: Discrete-Parameter Martingales, North Holland (1975) , S. 96.zbMATHGoogle Scholar
  48. 56).
    Auf die in 6.2.4 angegebene Beschränkung des Variationsbereichs von ζ auf eine Menge H soll hier verzichtet werden, da sie asymptotisch bedeutungslos ist.Google Scholar
  49. 59).
    pür eine ausführlichere Diskussion vgl. U. Müller-Funk, F. Pukelsheim, H. Witting: Proc. of the 4th Pannonian Symp. on Math. Stat., Bad Tatzmannsdorf (1983) 31–56.Google Scholar
  50. 62).
    Wie in Beispiel 6.166a gezeigt wurde, lassen sich solche Limesprobleme mit linearen Hypothesen in kanonischer Weise als Testprobleme mit Nebenparameter auffassen, nämlich als solche mit dem (d — m) -dimensionalen Nebenparameter ξ.Google Scholar
  51. 66).
    Vgl. C.R. Rao: Proc. Camb. Phil. Soc. 44 (1947) 50–57.Google Scholar
  52. 67).
    Vgl. hierzu S.D. Silvey: Ann. Math. Stat. 30 (1959) 389–407.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  53. 70).
    J. Neyman: Optimal Asymptotic Tests of Composite Statistical Hypotheses. Probability and Statistics (The Harald Cramer-Volume) , ed. by U. Grenander, Wiley (1959) , 213–234.Google Scholar
  54. 71).
    Um nicht mit der bisherigen Notation von Kap. 6 zu brechen, bei der immer T die Prüfgröße war, weichen wir von der in 3.3 verwendeten Terminologie ab. Wir setzen hier also Z = (U, V T)T und bezeichnen mit T die angegebene eindimensionale Linearkombination von U und V, nicht dagegen das Paar (U, V) .Google Scholar
  55. 72).
    Diese Schätzer sind ohne Normalverteilungsannahme nicht effizient. In Satz 7.222 wird gezeigt, daß in solchen Fällen gewisse L-Statistiken vorzuziehen sind; vgl. auch Beispiel 6.17.Google Scholar
  56. 73).
    Vgl. hierzu die in 6.2.3 diskutierte Bedingung (g, h) = 0.Google Scholar
  57. 74).
    Ist f die Dichte einer 𝔑(0, 1) -Verteilung, so spricht man beim Testen dieser Hypothesen auch vom Behrens-Fisher-Problem. Nach Beispiel 3.40c gibt es für dieses Problem nämlich keine vollständige suffiziente Statistik, was die Nicht-Existenz einer optimalen Lösung im Rahmen der Normalverteilungstheorie plausibel macht.Google Scholar
  58. 77).
    Vgl. J. Jurecková: Ann. Math. Stat. 40 (1969) 1889–1900.CrossRefGoogle Scholar
  59. 79).
    Vgl. R.R. Bahadur: Ann. Math. Stat. 35 (1964) 1545 – 1552.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  60. 80).
    Im Spezialfall k = 1 reicht es o.E. u = ζ = 1 zu wählen.Google Scholar
  61. 81).
    Zum Begriff der asymptotischen Mediantreue vgl. H. Strasser: Mathematical Theory of Statistics, de Gruyter (1988) , S. 438.Google Scholar
  62. 82).
    Vgl. etwa W. Fleming: Functions of Several Variables, Springer (1977) , p.141.zbMATHGoogle Scholar
  63. 83).
    Vgl. etwa J. Pfanzagl: Scand. J. Stat. 20 (1993) 73–76MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  64. 84).
    Vgl. etwa W. Rudin: Real and Complex Analysis, Mc Graw Hill (1974) , S. 97.zbMATHGoogle Scholar
  65. 85).
    Vgl. S. Portnoy: Ann. Stat. 5(1977) 522–529. — Ein anderer, speziell im nichtparametrischen Kontext wichtiger Zugang zu dem obigen Problem basiert auf dem Konzept eines Tangentenkegels. Dieses wird jedoch erst in Band III diskutiert werden.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  66. 86).
    Für eine ausführliche Diskussion vgl. J.P. Keating, K. Rao, P.K. Sen: Pitman’s measure of closeness, SIAM (1993)zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  67. 87).
    Vgl. P.K. Sen: Sankhya 48A (1986) 51–58Google Scholar
  68. 90).
    Vgl. W. Droste und W. Wefelmeyer: Stat. Dec. 2 (1984) 131–144.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  69. 91).
    Eine solche Klasse erhält man etwa dadurch, daß man die Polynome mit rationalen Koeffizienten multipliziert mit den Urysohn-Funktionen min{m + 1 — |x|, 1{, m ∈ N, und die Konstante 1 hinzunimmt.Google Scholar
  70. 92).
    Die Annahme, daß die Mengen C offen sind oder äquivalent die 1↙2-Stetigkeit der Indikatorfunktionen 1C, wird aus zwei Gründen hinzugenommen. Zum einen werden die Komplemente dann — wie in Satz 7.17 benötigt — abgeschlossen, zum anderen wird die Anwendung von Grenzwertsätzen möglich; vgl. Satz 6.215.Google Scholar
  71. 93).
    Vgl. W. Rudin: Functional Analysis, McGraw Hill (1974) , p.25.Google Scholar
  72. 94).
    Man beachte, daß hier nur endliche Dichten zugelassen sind, d.h. / ist in einem Modalwert endlich. Man beachte weiter, daß bei der Übertragung des Begriffes unimodal auf λk —Dichten wieder die Schwierigkeit auftritt, daß letztere weitgehend beliebig in Einzelpunkten abgeändert werden können, solange man sie nicht einer geeigneten Normalisierung unterwirft.Google Scholar
  73. 95).
    Läßt man m = ∞ als Modalwert zu, dann existiert eine analoge Aussage auch ohne diese Forderung.Google Scholar
  74. 96).
    Vgl. I.A. Ibragimov: Th. Prob. Appl. 1 (1956) 255–260.CrossRefGoogle Scholar
  75. 97).
    Vgl. T.W. Anderson: Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955) 170–176MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  76. 97a).
    vgl. auch Y.L. Tong: Probability Inequalities in Multivariate Distributions, Academic Press (1980) , S.52–55.zbMATHGoogle Scholar
  77. 98).
    Zum Beweis vgl. T. Lewis und J.W. Thompson: J. Appl. Prob. 18 (1981) 76–90MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  78. 98a).
    C.A.J. Klaassen: Adv. Appl. Prob. 17 (1985) 905 – 907.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  79. 99).
    A. Kester, W. Kallenberg: Ann. Stat 14(1988) 648–664.Google Scholar
  80. 100).
    Wir belassen es hier bei diesen Andeutungen über nicht-lokale Optimalitätseigenschaften des ML-Schätzers und verweisen etwa auf L. Rüschendorf: Asymptotische Statistik, Teubner (1988) .Google Scholar
  81. 102).
    Auch für diese Aussage gilt Fußnote 101 sinngemäß.Google Scholar
  82. 103).
    Ein strenger Beweis für diese intuitiv plausible Aussage folgt wieder aus dem Lemma von Anderson, vgl. die Aussage von Satz 6.220 und die zugehörige Beweisskizze.Google Scholar
  83. 104).
    Vgl. J. Hájek: Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Stat. Prob. 1 (1972) 175–194.Google Scholar

Copyright information

© B. G. Teubner Stuttgart 1995

Authors and Affiliations

  • Hermann Witting
    • 1
  • Ulrich Müller-Funk
    • 2
  1. 1.Universität Freiburg i. Br.Deutschland
  2. 2.Universität Münster/Westf.Deutschland

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