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Verteilungstheoretische Grundlagen der asymptotischen Statistik

  • Hermann Witting
  • Ulrich Müller-Funk

Zusammenfassung

Die Verwendung von Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie ermöglicht es, viele statistische Fragestellungen zu vereinfachen bzw. einer theoretischen Untersuchung zugänglich zu machen. In 5.1.1 werden derartige asymptotische Schlußweisen, etwa der Nachweis der Konsistenz und die asymptotische Festlegung kritischer Werte, anhand einiger einfacher Beispiele aus der Schätz- bzw. Testtheorie erläutert. Bereits hier spielt der Begriff der Verteilungskonvergenz eine zentrale Rolle. Dieser wird später nicht nur über euklidischen Räumen, sondern auch über Hilberträumen sowie über einigen speziellen (normierten) Funktionenräumen von Bedeutung sein.

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Literatur

  1. 1).
    Im folgenden beziehen sich alle Grenzübergänge — wenn nicht anders angegeben — auf den Fall n → oo. Diese Form der Asymptotik, bei der der Stichprobenumfang gegen oo strebt, ist nicht die einzig mögliche. So gibt es Probleme, bei denen es sinnvoll ist, andere Parameter gegen „extreme“ Werte streben zu lassen. Beispielsweise kann man bei Warteschlangenproblemen die Verkehrsrate gegen 1 streben lassen. In anderem Kontext läßt man mit dem Stichprobenumfang auch sonstige Größen gegen oo anwachsen, etwa die Dimension des Parameterraums.Google Scholar
  2. 2).
    Der notationeilen Einfachheit halber werden hier — wie häufig im folgenden — VF und die ihnen entsprechenden WS-Maße identifiziert.Google Scholar
  3. 3).
    Wie in 6.2.4 gezeigt wird, können analoge Überlegungen auch für Prüfgrößen durchgeführt werden, die asymptotisch wie eine gewichtete Summe von st.u. χ2 1-verteilten ZG verteilt sind.Google Scholar
  4. 5).
    Zur Namensgebung vgl. die Äquivalenz a) ⟺ b) im dritten der folgenden Konvergenzsätze.Google Scholar
  5. 6).
    Zu den Beweisen wie allgemeiner zum Begriff eines (Super-) Martingals bei diskreter Zeit vgl. etwa J. Neveu: Discrete-Parameter Martingales, North Holland (1975).zbMATHGoogle Scholar
  6. 7) Diese Voraussetzung wird hier nur der Einfachheit halber gemacht.Google Scholar
  7. 8).
    Vgl. P. Gänssler-W. Stute, Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer (1977), S. 87.zbMATHGoogle Scholar
  8. 9).
    Vgl. A.N. Shiryayev: Probability, Springer (1984), S.362.zbMATHGoogle Scholar
  9. 10).
    Vgl. T. Nemetz: Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai 11(1974)183–191.MathSciNetGoogle Scholar
  10. 11).
    Vgl. etwa P. Eichelsbacher, M. Löwe: Large deviation principle for m-variate von Mises-statistics and U-statistics. Preprint SFB 343, Bielefeld (1993)Google Scholar
  11. 11a).
    Eine neuere Darstellung des Gebiets der Grenzwertsätze für große Abweichungen findet man bei A. Dembo, O. Zeitouni: Large Deviations Techniques and Applications, Jones and Bartlett (1993).zbMATHGoogle Scholar
  12. 12).
    Zu Verschärfungen vgl. D.S. Mitrinovic: Analytic Inequalities, Springer (1970), S. 177–178.zbMATHGoogle Scholar
  13. 13).
    Solche Schranken werden u.a. bei Abschätzungen in der nichtparametrischen Statistik an zentraler Stelle benötigt; vgl. etwa die Beweise der Sätze 7.93 bis 7.96.Google Scholar
  14. 14).
    Einen Beweis von a) findet man etwa bei K. Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer (1972), S. 194–195; b) folgt unmittelbar aus Hilfssatz 1.162 und Satz 1.164.zbMATHGoogle Scholar
  15. 15).
    Diese Bedingung ist etwa dann erfüllt, wenn ℒ(Z) einer „steilen“ Exponentialfamilie in natürlicher Parametrisierung entstammt, 0 ∈ 𝐵 Dabei bedeutet steil, daß K(ζ) → gilt, falls ζ gegen einen Randpunkt von 𝐵 konvergiert.Google Scholar
  16. 16).
    Zu dem (vergleichsweise aufwendigen) Beweis vgl. etwa R. R. Bahadur: Some Limit Theorems in Statistics, SIAM (1971), S. 6–9.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  17. 17).
    Zur Verallgemeinerung der Kullback-Leibler-Information auf allgemeinere konvexe Funktionen sowie zu weiteren statistischen Anwendungen vgl. etwa F. Liese, I. Vajda: Convex statistical distances, Teubner (1987).zbMATHGoogle Scholar
  18. 18).
    Zu entsprechenden Resultaten bei zusammengesetzten Hypothesen vgl. etwa L. Rüschendorf: Asymptotische Statistik, Teubner (1988).zbMATHGoogle Scholar
  19. 19).
    Entsprechend dem englischen Wort „portmanteau“ für „Handkoffer“ soll die Bezeichnung Portmanteau-Theorem die Zusammenfassung diverser Eigenschaften, hier also der verschiedensten Charakterisierungen der Verteilungskonvergenz, zum Ausdruck bringen.Google Scholar
  20. 20).
    Zu derartigen „Konvergenz bestimmenden Klassen“ vgl. etwa P. Billingsley: Convergence of Probability Measures, Wiley (1968), S. 15.zbMATHGoogle Scholar
  21. 21).
    Vgl. Dunford-Schwartz: Linear Operators, Vol I, Interscience Publishers (1966) S. 262.Google Scholar
  22. 22).
    Einen Beweis für den allgemeinen Fall findet man bei P. Billingsley: Convergence of Probability Measures, Wiley (1968) , S. 37 bzw. S. 239–240.zbMATHGoogle Scholar
  23. 23).
    Zum Beweis von Satz 5.55 vgl. B. Winter: Studia Sci. Math. Hungar. 10 (1975) 247–253.Google Scholar
  24. 24).
    Vgl. etwa M. Loève: Probability Theory I, 4. Aufl., Springer (1977) , S. 182–184.zbMATHGoogle Scholar
  25. 25).
    Vgl. M. Kac: Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory, Carus Mathematical Monographs (1959) , Chapter 4.Google Scholar
  26. 26).
    Im weiteren bezeichnet U(a,r) = U<(a,r) den offenen Ball um a mit Radius r, entsprechend U≤ (a, r) den abgeschlossenen Ball.Google Scholar
  27. 27).
    Vgl. P. Gänssler-W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer (1977) , S. 97 und S. 356.zbMATHGoogle Scholar
  28. 28).
    Eine mehrdimensionale Version dieses Satzes mit normalverteiltem Limes Z und c n = n ½ wird in 5.3.1 bewiesen; vgl. Satz 5.107.Google Scholar
  29. 30).
    Gemeint ist also, daß die Folge der unbestimmten Integrale gleichgradig absolut stetig ist.Google Scholar
  30. 31).
    Wie in 5.1.2 gezeigt wurde, ist hierfür die Bedingung (5.1.25) hinreichend.Google Scholar
  31. 32).
    Vgl. A. Wald, J. Wolfowitz: Ann. Math. Stat. 15 (1944) 358–372MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  32. 32a).
    G. Noether: Ann. Math. Stat. 20 (1949) 455–458.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  33. 33).
    Gemeint ist mit Ψ(t) = log φ(t) ein geeigneter Zweig des komplexen Logarithmus, nicht notwendig der Hauptzweig. Zu dessen Existenz bei φ(t) ≠ / 0 ∀t ∈ ℝ vgl. H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie, 4. Aufl., De Gruyter (1990) , S. 218.Google Scholar
  34. 34).
    Vgl. C. L. Mallows: Ann. Math. Stat. 43 (1972) 508–515.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  35. 35).
    Die Notwendigkeit dieser Bedingung soll hier nicht gezeigt werden; vgl. V.I. Rotar: Math. Notes 18 (1975) 660–663.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  36. 36).
    Auch hier gilt eine Umkehrung. Die asymptotische Normalität von S n und die Gültigkeit der Feller-Bedingung implizieren zusammen die Lindeberg-Bedingung; vgl. etwa V.V. Petrov: Sums of Independent Random Variables, Springer (1975) .Google Scholar
  37. 32).
    Vgl. hierzu und zum folgenden L. Breiman: Probability (1968) 199–215zbMATHGoogle Scholar
  38. 32a).
    zur sonstigen Anmerkung V.V. Petrov: Sums of Independent Variables, Springer (1975) .Google Scholar
  39. 38).
    Die Teilaussage b) ist ein Spezialfall dessen, was man in der Literatur vielfach als „A-Methode“ bezeichnet. Zu einer entsprechenden Aussage in allgemeineren Rahmen, nämlich für Fréchet-oder Hadamard-differenzierbare Funktionale der empirischen Verteilungen, vgl. Kap. 8.Google Scholar
  40. 39).
    Derartige (stochastische) Taylorentwicklungen werden später vielfach als beweistechnisches Hilfsmittel verwendet.Google Scholar
  41. 40).
    Zu einer Verallgemeinerung auf den Fall von st.u., nicht notwendig glv. ZG vgl. Aufg. 5.39.Google Scholar
  42. 43).
    Die Frage nach einer unter allgemeinen Voraussetzungen nicht verbesserbaren Approximationsrate läßt sich für jede Metrik auf 𝔐 1 (ℝ, 𝔹) stellen, die die schwache Konvergenz metrisiert, also etwa für die Metriken aus Anmerkung 5.42. Zu einem entsprechenden Resultat für die dort definierte Metrik d vgl. etwa P.L. Butzer, L. Hahn: Math. Nachr. 75 (1976) 113–126MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  43. 43a).
    P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer (1977) S. 159.zbMATHGoogle Scholar
  44. 45).
    Vgl. L. Breiman: Probability, Addison Wesley (1968) S. 216.zbMATHGoogle Scholar
  45. 46).
    Nach Shiganov (1982) ; vgl. hierzu L. Paditz: Statistics 20 (1989) 453–464.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  46. 47).
    Vgl. v.V. Petrov: Sums of Independent Random Variables, Springer (1975) Th. 14, S. 125.Google Scholar
  47. 48).
    Vgl. R. Michel: Zeitschr. f. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete 55 (1981) , 110.Google Scholar
  48. 50).
    Die momenterzeugende Funktion eines WS-Maßes F bzw. einer λ-Dichte f wird auch als (zweiseitige) Laplacetrunsformierte von F bzw. f bezeichnet. Dieser Begriff wird in Analogie zu dem einer Fouriertransformierten auch bei endlichen Maßen bzw. bei allgemeineren nichtnegativen integrablen Funktionen verwendet.Google Scholar
  49. 52).
    Da κ 3 = 0 für symmetrische Verteilungen und überdies κ 4 = 0 für Normalverteilungen gilt, berücksichtigt der erste Zusatzterm in (5.3.67) bzw. derjenige in (5.3.66) die Schiefe der Verteilung P n, der zweite in (5.3.67) den Exzeß, d.h. die Abweichung von der Krümmung der Normalverteilungsdichte im Scheitel. Letzterer wird daher auch als Wölbung oder Kurtosis bezeichnet.Google Scholar
  50. 53).
    Hiermit ist gemeint, daß F nicht auf eine Teilmenge ΔZ, Δ > 0, konzentriert ist. Eine derartige Voraussetzung ist erforderlich, um Situationen wie die in Anmerkung 5.121a betrachtete auszuschließen. Zu Einzelheiten des Beweises vgl. W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. II, Wiley (1971) S. 538ff.zbMATHGoogle Scholar
  51. 54).
    Für eine ausführliche Darstellung einer in dieser Form verfeinerten Asymptotik bei Summenverteilungen vgl. J. Pfanzagl, W. Wefelmeyer: Asymptotic Expansions for General Statistical Models, Lect. Notes in Statistics, Vol. 31 (1985) .zbMATHGoogle Scholar
  52. 56).
    Hier und im folgenden sind die Eigenwerte λ nicht notwendig von 0 und untereinander verschieden. Der Einfachheit halber schreiben wir stets ∈ N, auch wenn c(•, •) nur endlich viele Eigenwerte hat.Google Scholar
  53. 57).
    Vgl. hierzu, zum Satz von Mercer und zur folgenden Anmerkung etwa Michlin: Vorlesungen über lineare Integralgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften (1962) , § 27, und Hirzebruch-Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis, Bibiliographisches Institut (1971) .Google Scholar
  54. 58).
    Vgl. hierzu und zu Hilfssatz 5.148: Verrill-Johnson: Comm. of Stat. 17 (1988) 4011–4024.CrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© B. G. Teubner Stuttgart 1995

Authors and Affiliations

  • Hermann Witting
    • 1
  • Ulrich Müller-Funk
    • 2
  1. 1.Universität Freiburg i. Br.Deutschland
  2. 2.Universität Münster/Westf.Deutschland

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