Zusammenfassung
In der elementaren Schulgeotnetrie untersucht man die Eigenschaften von geradlinigen Figuren und Kreisen. Die Hauptrolle spielen darin die Konstruktionen. Die Berechnungen hingegen haben, obwohl ihre praktische Bedeutung sehr groß ist, nur eine untergeordnete Rolle. Die Wahl dieser oder jener Konstruktion verlangt meist etwas Erfindungskraft. Darin liegt die Hauptschwierigkeit bei der Lösung von Aufgaben mit den Methoden der elementaren Geometrie.
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Literatur
Pierre de Fermat(1601–1655), bedeutender französischer Mathematiker, war im Ausbau der Differentialrechnung ein Vorgänger von Newton und Leibniz. Er lieferte einen beachtlichen Beitrag zur Zahlentheorie. Der Großteil der Arbeiten Eeiuiats (darunter auch Arbeiten über analytische Geometrie) wurde zu Lebzeiten des Autors nicht veröffentlicht.
René Descautes (1596–1050), bedeutender französischer Mathematiker und Philosoph. Die Veröffentlichung seiner,,Geometrie“(eine der Anwendungen aus seiner philosophischen Schrift „xVbhandlungen über die Methode“) im Jahre 1637 erachtet man (mit Einschränkungen) als die Begründung der analytischen Geometrie.
Leonhard Euler (L707 – 17S3) ist in der Schweiz geboren. 1727 kam er nach Rußland. Er arbeitete anfänglich als Adjunkt (wissenschaftlicher Mitarbeiter) an der Petersburger Akademie der Wissenschaften, später (ab 1733) war er Mitglied der Akademie. Er sehrieb über 800 Arbeiten. Er machte neue Entdeckungen in allen physikalisch-mathematischen Wissenschaften. Er hat viel zur Entwicklung <ler russischen Wissenschaften beigetragen.
Mehr über Determinanten findet man in § 182–185.
Als crsten Schenkel für den Winkel α nimmt man den Strahl OX. Auf der Geraden SS’ kann man einen beliebigen der beiden Strahlen LS, LS’ verwenden. Der Winkel OY ist positiv, wenn eine Drehung von OY in OY in derselben Richtung erfolgt wie eine Drehung von OX um 90° nach OY (d.h. bei der üblichen Anordnung im Gegenuhrzeigersinn).
Zu den Geraden, die parallel zur Achse OX verlaufen, zählt man auch diese Achse selbst. Ebenso zählt man die Achse OY zu den Geraden, die zu OY parallel verlaufen.
Zwei zusammenfallende Geraden betrachten wir hier wie im folgenden stets als parallel.
Man kann zulassen, daß eine der beiden Größen A2 oder B2 (aber nicht beide zugleich, s. § 16) Null sind. Das Verhältnis in (6) ist dann so zu verstehen, daß der entsprechende Zähler auch Null sein muß. Dieselbe Bedeutung soll auch das Vcrhältnis in (7) bci C2 = 0 haben.
Über die Anwendbarkeit dieser Formel in den Fällen, in denen L 1 und L 2 orthogonal sind, s. Bemerkung 1.
Die linke Gleichlingsseite von (1) hat die Form einer Determinante (s. § 12).
Die linke Seite von Gleichung (1) hat die Form einer Determinante (s. § 12).
Formel (3) erhält man meist mit Hilfe einer Konstruktion. Weiter unten (Bemerkung 2) werden wir eine exakte analytische Herleitung geben.
Dieser Paragraph dient zur Einführung für § 30 und § 31.
Da die Koeffizienten von x, y auf Grund von (2) § 29 gleich cos x, sin α sind und da das freie Glied auf Grund von (1) § 29 gleich (—p) ist.
Zum Einprägen des Merksatzes lese man ihn ohne den Klammerzusatz. Dieser ist zwar wesentlich, er kann aber leicht rekonstruiert werden.
Über das Vorzeichen von α s. § 14, Fußnote.
Die in § 57 eingeführte Unterscheidung zwischen Vektor- und Punktkoordinaten durch Groß- bzw. Kleinbuchstaben wird im folgenden beim Arbeiten mit Matrizen nicht eingehalten.
‘Kino andere Definition der Ellipse findet man in § 69.
Vom griechischen Wort „kanon“, das Richtschnur bedeutet.,,Kanonisch“heißt somit soviel wie „vorschriftsmäßig“.
Man könnte auch annehmen, daß die beiden Äste nicht eine einzige Kurve, sondern deren zwei bilden. Doch dann wird keine der beiden Kurven für sich allein durch eine algebraische Gleichung zweiten Grades dargestellt.
Über die geometrische Bedeutung der Größe b s. § 74.
Siehe Fußnote 3 auf S. 91.
„asymptota“ist ein griechisches Wort. Es bedeutet „sich nicht berührend“.
Siche Fußnote 3 auf S. 91.
Außer den Kreisen.
Der zweite Scheitel der Ellipse oder Hyperbel (und gleichzeitig auch der zweite Hyperbelast) ist um so weiter vom ersten Scheitel entfernt, je näher e bei 1 liegt.
Oder auch als Schnitt mit der Fläche eines allgemeinen Kegels.
Die Ellipse kann insbesondere zu einem Kreis entarten. Bei einem Kreiskegel liefern nur die Schnittebenen parallel zur Grundfläche einen Kreis. Ein allgemeiner Kegel hingegen kann mehr als eine Familie von kreisförmigen Schnitten besitzen.
Wir erklären das Verfahren hier etwas umständlich, benötigen dafür aber keine Hilfssätze. Ein anderes Verfahren, das schneller zum Ziel führt, wird in den §§ 95, 96 angegeben.
Die Koeffizienten A’ und C“können nicht gleichzeitig versehwinden (sonst wäre die Gleichung (4) von erstem Grad).
Das Wort Diskriminante kommt aus dem Latcinischen und bedeutet „Unterscheidungsmerkmal“.
Eine ausführliche Behandlung der Archimedischen Spirale findet man auf S. 741.
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Wygodski, M.J. (1976). Analytische Geometrie in der Ebene. In: Höhere Mathematik griffbereit. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-90113-2_1
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-90113-2_1
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