Zusammenfassung
Jeder Beweis in den Wissenschaften stützt sich auf charakteristische Beweisprozeduren: Deduktions- oder Schlußregeln gestatten den Übergang von einer Aussage (bzw. einer Klasse von Aussagen) zu einer anderen; Strategien verhelfen zur geeigneten Anwendung der Deduktionsregeln relativ zum Beweisziel. Die Deduktionsregeln hängen primär von den Formen der Aussagen bzw. von der Form der Sprache ab, Strategien hängen auch von den jeweiligen Aussageinhalten, dem Beweistyp und vielem anderen ab. Jeder Beweis ist eine konstruktive Tätigkeit in einer Sprache; dies bedeutet, daß Form und Inhalt gleichermaßen wichtig sind. Die Konstruktion orientiert sich zwar an den Formen der Sprache; jedoch müssen diese die inhaltlichen Zusammenhänge geeignet präsentieren können. Denn der Beweis hat seinen Stellenwert in der Bearbeitung inhaltlicher Probleme. Wir werden deshalb den formalen Aspekt stets durch einen inhaltlichen Aspekt ergänzen müssen.
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Literatur
Diese Idee ist von großer Wichtigkeit auch für die theoretische Linguistik. Da die Bedeutungen von Ausdrücken oder Sätzen einer natürlichen Sprache selbst nur wieder sprachlich wiedergegeben werden können, ist es nützlich, eine solche Sprache zur semantischen Repräsentation zu wählen, in der die Strukturen der Sätze zugleich die Struktur ihrer Bedeutungen repräsentieren. Da derartige Sprachen besonders in der Logik entwickelt worden sind, sollte man sich also auf diese stützen, wenngleich dies meistens noch nicht ausreicht, da die Logiksprachen im allgemeinen nicht ausdrucksfähig genug sind gegenüber den natürlichen Sprachen. Wenn ich von <p v q> usw. als Aussagen spreche, so hat dies seinen Grund darin, daß der Satz <p v q> zugleich die Aussage (oder Proposition) <daß p oder daß q> repräsentiert. Man könnte natürlich versuchen, die Differenz zwischen einer Symbolkette und einer Aussage durch besondere Kennzeichnungen hervorzuheben; dies erscheint mir aber überflüssig. In der Logik haben wir es niemals nur mit un-interpretierten Symbolketten zu tun, sondern zugleich und sogar wesentlich mit den von ihnen repräsentierten Aussagen. Eine Logiksprache ist deshalb nicht zu identifizieren mit einer formalen Sprache im Sinne der Algebra (vgl. Kap. 10.5). Wenn man bestimmte formale Ableitungskonventionen eingeführt hat, so ist es möglich, auf ganz formale Weise bestimmte Sätze zu beweisen, ohne daß man auch die inhaltlichen Konsequenzen dieser Sätze schon versteht. Dieser Umstand ist manchmal von großem heuristischem Nutzen: Man hat keinen Anlaß, an der «Richtigkeit» eines Satzes (relativ zu den gewählten Prämissen) zu zweifeln, und sieht sich deshalb genötigt, diesen Satz inhaltlich geeignet zu interpretieren, was zu neuen produktiven Fragestellungen führen kann (z. B. hinsichtlich des Aussagereichtums der gewählten Logiksprache und ihrer Reichweite in der Bearbeitung bestimmter Probleme). In diesem Sinne enthalten die formalen Verfahren eine konstruktive Produktivität, die über die inhaltlich bestimmten Intuitionen des Forschers hinausführen kann; jedoch ist diese Produktivität wertlos, solange sie nicht im Verstehen eingeholt wird. Deshalb ist es insgesamt und im Prinzip richtig zu sagen, jedes Beweisen sei eine konstruktive Tätigkeit in einer Sprache, die formal und inhaltlich bestimmt ist.
Eine logische Aussage ist allgemeingültig, wenn sie in allen Situationen (Interpretationen) wahr ist; sie ist allgemein-ungültig, wenn sie in allen Situationen (Interpretationen) falsch ist. Z. B. ist die Aussage <p ⊃ p v q> allgemeingültig, die Aussage <p & ~ p> allgemein-ungültig; die Aussage <p v q> hingegen ist weder das eine noch das andere. Nehmen wir für <p> und <q> bestimmte empirische Aussagen, so ist <p ⊃ p v q> wahr, ganz gleich, um welche empirische Aussagen es sich handelt; die Wahrheit von <p v q> hängt aber von der Wahrheit dieser empirischen Aussagen ab.
Mit den Klammern wird die Reihenfolge der Anwendung von (b) in der Definition der Sätze gekennzeichnet. Bei einer genauen Sprachdefinition müßte dies noch explizit gemacht werden.
Manchmal wird auch noch die sogenannte Substitutionsregel im weiteren Sinn zu den elementaren Deduktionsregeln gezählt: Sei A irgendein Satz und sei A ≡ B, dann kann für alle Vorkommnisse von A innerhalb einer Formel B ersetzt werden. Diese Regel ist jedoch metalogisch definierbar (vgl. Thomason 1970, 80 f.). Die Substitutionsregel im engeren Sinn, bei der die Forderung A ≡ B wegfällt, ist hingegen keine Deduktionsregel.
Hier genügt auch die Bezugnahme lediglich auf den modus ponens, da sich alle übrigen Deduktionsregeln mit seiner Hilfe definieren lassen.
G. Hasenjäger sagt dazu: «Sätze sind gewissermaßen <eingefrorene> Regeln und Regeln sind <aufgetaute> Sätze» (Einführung in die Grundbegriffe und Probleme der modernen Logik, Freiburg/München 1962, 78). Beim «Umschreiben» eines Theorems in eine Schlußregel muß eine gewisse Vorsicht angewendet werden, um die in Kap. 5.6 erwähnten. Paradoxien der materialen Implikation zu vermeiden (ein Theorem ist nicht äquivalent mit einef Schlußregel); das eine ist ein Satz (eine Aussage), das andere ist eine konstruktive Vorschrift: In einem Theorem von der Form der Implikation kann das Anfangsglied auch falsch sein, für die Verwendung einer Schlußregel wird die (relative) Wahrheit der Prämissen vorausgesetzt.
Ein derartiger Kalkül wurde von G. Gentzen als erstem entwickelt, in seinem Aufsatz Untersuchungen über das logische Schließen, in: Mathematische Zeitschrift 39 (1934/35), 176–210, 405–431; wiederabgedruckt in: K. Berka/L. Kreiser, Logik-Texte, Berlin 1971, 192–253.
Eine syntaktische Metatheorie wurde zuerst in der mathematischen Grundlagenforschung als Metamathematik oder auch Beweistheorie entwickelt. Der Name <Beweistheorie> weist schon darauf hin, daß im Mittelpunkt die Untersuchung der Struktur mathematischer Beweise steht.
Hier und im folgenden orientiere ich mich an R. H. Thomason, Symbolic Logic: An Introduction, Riverside/London 1970, 63 ff.
Vgl. Kap. 9.3 ff.
Bei Sätzen mit deiktischen Ausdrücken (wie <ich>, <hier>, <gleich>) ist der Wahrheitswert nur relativ zur Äußerungssituation bestimmbar.
Für die Linguistik vgl. z. B. die Kap. 3.5, 3.9 und 7.4.
A. Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, in: Studia Philosophica Commentarii Societatis philosophicae Polonorum 1 (1935); wiederabgedruckt in: K. Berka/L. Kreiser, Logik-Texte, Berlin 1971, 447–559, 453.
«Zu sagen nämlich, das Seiende sei nicht, oder das Nicht-Seiende sei, ist falsch, dagegen zu sagen, das Seiende sei und das Nicht-Seiende sei nicht, ist wahr» (Aristoteles, Metaphysik IV, 7, 1012a, übers, von H. Bonitz, Reinbek 1966, 88).
So plädiert z.B. J. Habermas für eine Konsensus théorie: «Die Bedingung für die Wahrheit von Aussagen ist die potentielle Zustimmung aller anderen. Jeder andere müßte sich überzeugen können, daß ich dem Gegenstand das Prädikat p berechtigterweise zuspreche, und müßte mir dann zustimmen können» (J. Habermas, Vorbereitende Bemerkungen zu einer Theorie der kommunikativen Kompetenz, in: J. Habermas/N. Luhmann, Theorie der Gesellschaft oder Sozialtechnologie — Was leistet die Systemforschung? Frankfurt 1971, 101–141, 124). Traditionell werden meistens Korrespondenztheorie, Kohärenztheorie und pragmatische Theorie der Wahrheit unterschieden (vgl. A. R. White, Truth, London 1970, bes. Kap. 6). Gemäß der Kohärenztheorie ist eine Aussage wahr, wenn sie mit einem System von Aussagen aufgrund von Folgerungsbeziehungen zusammenhängt; Wahrheit bestimmt sich relativ zu einem System des Wissens. Eine Variante dieser Auffassung wird von uns in Kap. 6.3 unter dem Gesichtspunkt der Interpretation durch andere Theorien vertreten. Z. T. als Weiterentwicklung der Kohärenztheorie kann die semantische Theorie der Wahrheit verstanden werden;
eine andere Richtung der weiteren Ausarbeitung hat N. Rescher eingeschlagen, in: The Coherence Theory of Truth, Oxford 1973. Gemäß der pragmatischen Theorie ist eine Aussage wahr, wenn sie ihre Funktionen (im praktischen Verkehr der Menschen) erfüllt; als eine weitere Ausformung dieser Theorie kann die Konsensustheorie der Wahrheit verstanden werden.
Derartige Interpretationen zu einer Klasse von Sätzen heißen manchmal audi <Modell>; vgl. Kap. 6.3.
In der ursprünglichen Behandlung durch Tarski war der Begriff der Erfüllung etwas anders gefaßt worden; er bezog sich dort auf die Erfüllung einer Satzfunktion dural Gegenstandsgebilde. Etwa mag die Satzfunktion <Bel x> (für <x bellt>) durch Struppi erfüllt werden. Hier wird Tarskis Erfüllungsbegriff in der Definition der Bewertungsfunktion V berücksichtigt.
Eine Satzfunktion wie Hu x (z. B. für <x ist ein Hund>) nimmt Argumente aus dem Bereich der Individuenkonstanten (a, b, c,...) und hat Werte im Bereich der Sätze (Hu a, Hu b, Hue,...).
<Nicht aus S ableitbar> heißt dasselbe wie <nidit in H beweisbare Ein Axiomensystem ist nur dann syntaktisch widerspruchsfrei, wenn in der zugehörigen Logiksprache auch Sätze gebildet werden können, die keine Theoreme sind; hierzu gehören die unter empirischem Gesichtspunkt gerade «interessanten» Sätze, nämlich jene, die je nach Situation wahr oder falsch sind; außerdem gehören hierzu die nichtgültigen (logisch falschen) Sätze. Die Forderung (x) der Existenz nicht ableitbarer Sätze ist allgemeiner als die Forderung (xx) der Nicht-Ableitbarkeit eines beliebigen Satzes p und seiner Negation p. (x) ist jedoch eine Folge von (xx); denn wenn (x) nicht gelten würde, wären z. B. die beiden Sätze p und ~p in H ableitbar; dies wäre ein Widerspruch zu (xx).
Dies bedeutet, daß die Menge der Theoreme entscheidbar ist.
Neben dem Ausdruck einer Folgebeziehung dient <wenn... dann...> auch zum Ausdruck einer Voraussetzungsbeziehung («Falls p, dann q»: Behauptet wird nicht, daß eine Relation zwischen p und q besteht, sondern daß q gilt, unter der Voraussetzung, daß p gilt) und zum Ausdruck einer kontrafaktischen Bedingung («Wenn Otto langsamer gefahren wäre, hätte er den Unfall vermeiden können»: Es wird zu verstehen gegeben, daß Otto nicht langsam gefahren ist und daß Otto einen Unfall gehabt hat). Vgl. die logischen Ausarbeitungen von N. D. Belnap, Restricted Quantification and Conditional Assertion, in: Leblanc (ed.), Truth, Syntax and Modality, Amsterdam 1973, 48–75;
D. Lewis, Counterfactuals, Oxford 1973.
C. I. Lewis, The calculus of strict implication, in: Mind 23 (1914).
W. Ackermann, Über die Beziehung zwischen strikter und strenger Implikation, in: Dialectica 12 (1958);
S. A. Kripke, The problem of entailment, in: Journal of Symbolic Logic 24 (1959);
A. R. Anderson/N. D. Belnap, The pure calculus of entailment, in: Journal of Symbolic Logic 27 (1962).
A. A. Sinowjew, Komplexe Logik. Grundlagen einer logischen Theorie des Wissens, Berlin/Braunschweig/Basel 1970, besonders Kap. 6 und 7.
Neben der strengen Folgerung unterscheidet Sinowjew noch einige andere Folgerungsarten: Bei der abgeschwächten Folgerung kommt in p und q mindestens ein gleicher elementarer Satz vor; bei der maximalen Folgerung kommen in p und q die gleichen elementaren Sätze vor; bei der konversen Folgerung kommen in p nur solche elementaren Sätze vor, die auch in q vorkommen (Sinowjew 1970, 93, 100 ff”.).
Dieser- Umstand ist in der Konstruktion der elementaren Sätze bei Sinowjew zu berücksichtigen. Über die Art dieser Konstruktion im Hinblick auf die Analyse der natürlichen Sprache finden sich bei Sinowjew leider keine Angaben. Die nachfolgende Diskussion kann deshalb auch nur eine intuitive Erörterung des Problems an Beispielen aus der natürlichen Sprache bringen.
G. H. v. Wright, An Essay in Modal Logic, Amsterdam 1951.
Vgl. G. H. v. Wright, Logik der Handlungen und Normen (Vortrag Berlin vom 11./12. 1. 1973).
C. L. Hamblin, The Concept of Argument, in: Fallacies, London 1970, 224–252; vgl. auch Kap. 2.2.
Zum Verhältnis deskriptiver, wertender und normativer Aussagen vgl. auch Kap. 1.7 und 9.27.
Es mag möglich sein, auch komplexe soziale Sachverhalte wie Überzeugungen und soziale Geltungen im Rahmen einer Prädikatenlogik zu behandeln und die inhaltlichen Zusammenhänge nicht in einer entsprechend reichen Theorieform formal, sondern allein deskriptiv in entsprechend reichen Axiomensystemen niederzulegen. In diesem Fall wird aber außerdem eine umfassende Metaebene der Theorie nötig (z. B. zur Behandlung der zwischen den deskriptiven Prädikaten bestehenden Sinnrelationen), auf der im Prinzip dasselbe geleistet werden muß wie in der reicheren Logik. Ein Gewinn ergibt sich dadurch nicht, sondern eher einç Komplizierung und Verschleierung der Zusammenhänge.
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Wunderlich, D. (1981). Entfaltung der Deduktiven Argumentation: Logik. In: Grundlagen der Linguistik. WV studium, vol 17. VS Verlag für Sozialwissenschaften. https://doi.org/10.1007/978-3-322-90063-0_5
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