Zusammenfassung
Im weiteren Verlauf soll ein Informationssystem betrachtet werden, in dem eine Reihe von heterogenen Informationsaufträgen für die unterschiedlichsten Informationsnachfrager bearbeitet werden sollen. Die Anzahl dieser Informationsaufträge J mit j = 1,... , J ist endlich und gegeben. Ferner sei die Anzahl der TIV M mit m = 1,... , M ebenfalls endlich und ex ante gegeben. Die dazu benötigten Operationen bzw. Arbeitsgänge können einem oder mehreren TIV m zugeordnet werden. Aufgrund der Heterogenität der Informationsaufträge können sowohl ein- als auch mehrstufige Fertigungsprozesse im Informationssystem auftreten, wobei ein Arbeitsgang eines Auftrages j als eine Fertigungsstufe interpretiert wird. Die Anzahl der Arbeitsgänge (Fertigungsstufen) pro Auftrag j wird mit G j , der einzelne Arbeitsgang mit g j = 1,... ,G j bezeichnet. Weiterhin können dem Planer pro Fertigungsstufe mehrere TIV zur Durchführung eines Arbeitsganges g j zur Verfügung stehen, d.h., ein und derselbe Arbeitsgang kann durch verschiedene TIV bearbeitet werden (Verfahrensalternative). Dieses wird durch M gj als eine endliche Anzahl der für die Durchführung eines Arbeitsganges g j zur Auswahl stehenden TIV angegeben. Der Index lautet dementsprechend m gj = 1,... , M gj . Zusätzlich können mit g j = 0 und g j = G j + 1 zwei Scheinaktivitäten betrachtet werden, die den Anfang und das Ende eines Informationsprozesses j darstellen und deren Bearbeitungszeiten T P,j0 und T P,jGj+1 gleich null sind. Hat eine Zuordnung ex ante stattgefunden, entspricht g jm dem Arbeitsgang g des Auftrages j, welcher durch den TIV m durchgeführt wird.
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Literatur
Eine alternative Darstellung ist das Vorgangspfeil-Netzwerk. In diesem Netzwerk entsprechen die Knoten sogenannten Zeitereignissen (time-events), die den Start- und Endzeitpunkt einer Aktivität bzw. eines Arbeitsganges angeben. Die Pfeile stellen in diesem Fall die Aktivitäten bzw. den Arbeitsgang dar. Die Länge eines solchen Pfeils entspricht dann der Dauer der Aktivität.
Wobei dieser Begriff ebenfalls einer Diskussion bedarf bzw. im voraus definiert werden muß.
Reihenfolgeprobleme bei mehrstufiger Fertigung lassen sich oft als spezielle Probleme der Projektplanung unter Berücksichtigung von Kapazitätsrestriktionen formulieren (vgl. BAKER (1974), S. 268ff.; ALVAREZ-VALDÉS/TAMARIT (1989), S. 113; KOLISCH/SPRECHER/DREXL (1992), S. 4; DOMSCHKE/SCHOLL/VOSS (1993), S. 365). Dabei entstehen die Kapazitätsrestriktionen dadurch, daß jede Stelle bzw. Maschine zu jedem Zeitpunkt höchstens einen Auftrag bearbeiten kann.
Diese Problemstellung läßt sich dann durch die Einführung einer fiktiven gemeinsamen Startaktivität und einer fiktiven gemeinsamen Endaktivität in ein Problem der Ein-Projekt-Planung überführen.
Aufgrund der besonderen Eigenschaften eines Projektes (vgl. Abschnitt 4.4) können Informationsaufträge nicht generell mit dem Begriff Projekt umschrieben werden. Eine Einmaligkeit der Informationsherstellung liegt ausschließlich bei Informationsprozessen vom Typ I vor. Bei den anderen Prozeßtypen (Typ II und III) treten jedoch Prozeßfolgen auf, die standardisiert sind und somit mehrmals durchgeführt werden (vgl. NIPPA (1996a), S. 52ff.).
So zeigt BAKER (1974) die Eigenschaften, die eine Problemstellung bezüglich mindestens eines zulässigen Ablaufplanes erfüllen muß, wenn nur eine erneuerbare Ressource betrachtet wird.
Während das ganzzahlige Optimierungsverfahren NP-schwer bzw. das entsprechende Entscheidungsproblem NP-vollständig ist, ist eine eindeutige Zuordnung des linearen Programmierungsproblems in die Menge der NP-vollständigen Probleme nicht möglich (vgl. GAREY/JOHNSON (1979), S. 155ff. und 245; zum Zusammenhang zwischen Optimierungsverfahren und Entscheidungsproblemen siehe GAREY/JOHNSON (1979), S. 109ff. und WEGENER (1993), S. 37 und 63ff.). Einen Überblick über die Komplexität verschiedener Reihenfolgeprobleme bei einer Beschränkung der benötigten Ressourcen geben BLAZEWICZ, LENSTRA und RINNOOY KAN (1983).
Eine Alternative zu den linearen Verfahren oder der vollständigen Enumeration sind die Verfahren des Branch&Bound. Sie gehören in die Klasse der Entscheidungsbaumverfahren, zu denen auch die dynamische Programmierung und die begrenzte Enumeration — die auch als Spezialfälle von Branch&Bound-Verfahren angesehen werden können — zählen (vgl. MÜLLER-MERBACH (1970), S. 30). Zu der allgemeinen Funktionsweise eines Branch&Bound-Verfahrens vergleiche die in Abschnitt 2.3 angegebene Literatur. Das Problem der Branch&Bound-Verfahren bleibt jedoch weiterhin das Laufzeit verhalten, da auch solche Verfahren NP-schwer sind. In solchen Fällen wird dann auf Heuristiken und Prioritätsregeln zurückgegriffen, um in relativ kurzer Zeit relativ gute Lösungen zu erhalten. Ein solches Prioritätsregelverfahren wird im Abschnitt 5.2.2 vorgestellt.
Literaturhinweise zu einer ausführlichen Diskussion und Darstellung von Prioritätsregeln findet sich im Abschnitt 2.3.
KOLISCH (1996) berichtet in diesem Zusammenhang von einer weiteren Vergleichsstudie zwischen dem seriellen und dem parallelen Prioritätsregelverfahren als single-pass Heuristik mit deterministischen Bearbeitungszeiten. Bei diesem Vergleich erweist sich keines der beiden Verfahren als dominant. Dieses steht im Widerspruch zu der schon 1989 getroffenen These von ALVAREZ-VALDÉS und TAMARIT, daß das parallele Verfahren im Vergleich zum seriellen Verfahren bessere Ergebnisse liefert (vgl. auch KOLISCH (1996), S. 324).
Zu einer Unterscheidung zwischen semi-aktiven, aktiven und verzögerungsfreien Ablaufplänen bei Problemen mit Ressourcenbeschränkungen siehe SPRECHER, KOLISCH und DREXL (1995).
Eine allgemeine Beschreibung des Algorithmus für mehrere Ressourcen findet sich beispielsweise bei ALVAREZ-VALDÉS und TAMARIT (1989), KOLISCH (1995) und DREXL, KOLISCH und SPRECHER (1997).
Bei dem hier betrachteten Verfahren handelt es sich um ein single-pass Verfahren, in dem jeder Arbeitsgang nur einmal eingeplant wird. Eine weitere Verbesserung der Qualität der Lösung kann durch die Implementierung eines multi-pass Algorithmus erreicht werden. Bei einer solchen Heuristik werden B single-pass Algorithmen durchgeführt, die eine Auswahl von höchstens B verschiedenen zulässigen Lösungen liefern. Aus dieser Auswahl wird dann die beste Lösung ausgewählt. Für den Algorithmus (5.1) bedeutet dieses, daß er B mal durchlaufen wird, wobei die Auswahl eines Arbeitsganges g j nicht mehr direkt nach dem Prioritätswert erfolgt, sondern dieser gemäß einer Wahrscheinlichkeit bestimmt wird. Die Wahrscheinlichkeit für einen Arbeitsgang g j ergibt sich aus seinem Prioritätswert dividiert durch die Summe der Prioritätswerte der einplanbaren Arbeitsgänge g j (vgl. ALVAREZ-VALDÉS/TAMARIT (1989), S. 324). In einem solchen Fall läßt sich die durchschnittliche Qualität der Ergebnisse um 50% — 70% verbessern (vgl. KOLISCH (1996), S. 330). Eine solche Verbesserung ist jedoch mit einer Erhöhung der Rechenzeit verbunden. KOLISCH (1996) zeigt, daß das parallele multi-pass Prioritätsregelverfahren dem seriellen multi-pass Verfahren überlegen ist, wenn die Größe der Auswahlmenge klein ist und Produktionssituationen betrachtet werden, bei denen eine hohe Ressourcendichte (im Extremfall benötigt jeder Arbeitsgang jede Ressourcenart) sowie eine geringe Ressourcenstärke vorliegen. Die Ressourcenstärke ist durch die Beziehung zwischen der Nachfrage an Ressourcen durch die betrachteten Arbeitsgänge und der zur Verfügung stehenden Kapazität definiert (vgl. zur Ressourcendichte und -stärke KOLISCH, SPRECHER und DREXL (1992), S.11ff.).
Der Prioritätswert und die Güte eines Ablaufplanes wird hier zusätzlich in Abhängigkeit von der entstandenen Auftragsverzögerung betrachtet, die von Auftrag zu Auftrag unterschiedlich bewertet wird und ebenfalls in die Berechnung eines Prioritätswertes eingeht.
Zur Problematik der Unbestimmtheit vgl. auch Abschnitt 5.3 und Kapitel 7.
Bei der Reihenfolgeplanung gemäß dem frühesten Startzeitpunkt eines Arbeitsganges oder eines Auftrages handelt es sich bspw. um eine solche Strategie (vgl. MÖHRING/RADERMACHER (1985), S. 90ff.).
DUBOIS und PRADE (1987) identifizieren drei Grundformen einer Zugehörigkeitsfunktion: die Glocken-Form, die steigende sowie die fallende Funktion.
In diesem Zusammenhang sind diese Operationen so festzulegen, daß sie im Spezialfall von scharfen Mengen gerade mit den üblichen Mengenoperationen übereinstimmen (vgl. RABETGE (1991), S. 10). Die besonderen Eigenschaften von unscharfen Mengen führen jedoch dazu, daß in der Literatur eine Fülle von alternativen Operationen existieren, um so das reale Verknüpfungsverhalten von realen Phänomenen, die durch unscharfe Mengen dargestellt werden können, abzubilden (vgl. LEHMANN/WEBER/ZIMMERMANN (1992), S. 2; siehe auch DUBOIS/PRADE (1987), S. 7).
Eine ausführliche Diskusion findet sich beispielsweise bei RABETGE (1991).
Vgl. nächsten Abschnitt.
In diesem Zusammenhang wird von einer L-Darstellung für eine steigende Funktion (bzw. R-Darstellung für eine fallende Funktion) sowie von einer L-R-Darstellung bei unscharfen Zahlen bzw. Intervallen der unscharfen Mengen gesprochen (vgl. bspw. ROMMELFANGER (1994), S. 40ff.).
Dieser Ansatz stellt die Situation dar, in welcher der Entscheidungsträger zwar von einem Optimierungsziel ausgeht (z.B. Kosten minimieren, Gewinn maximieren), jedoch nicht in der Lage ist, den Alternativenraum eindeutig festzulegen. Wird dagegen auch die Zielfunktion als unscharf betrachtet, bei welcher der beste Zielfunktionswert den höchsten Zugehörigkeitswert hat und umgekehrt, wird von einem symmetrischen unscharfen Optimierungsansatz gesprochen (vgl. hierzu ZIMMERMANN (1987), S. 23f.). Zielfunktion und Restriktionen werden bei der Verwendung des Minimum-Operators gleich behandelt.
Diese Darstellung ist äquivalent zu der Darstellung eines ganzzahligen unscharfen linearen Problems (GULP) mit einer unscharfen Restriktion <. Bei einer unscharfen Nebenbedingung wird ebenfalls eine Lockerung der rechten Seite betrachtet (vgl. auch ROMMELFANGER (1996), S. 514).
Allerdings kann der Prozeßadministrator auch direkt eine scharfe Lösung berechnen. Die Idee der Bestimmung einer eindeutigen Lösung in einem nicht-symmetrischen Modell besteht in der Überführung der Ausgangssituation in ein symmetrisches Modell. Zu diesem Zweck wird die scharfe Zielfunktion in eine unscharfe Zielfunktion überführt, indem die korrespondierende Menge unscharfer Zielfunktionswerte hergeleitet wird. Diese Herleitung geschieht durch die Definition einer “maximalen Menge” für den Fall, daß die Zielfunktion f(x) von oben und unten begrenzt ist (vgl. ZIMMERMANN (1987), S. 28). Eine solche Definition, die speziell für die lineare Programmierung verwendet wird, geht zurück auf WERNERS (1984). Auf der Grundlage dieser Definition und der ermittelten unscharfen Menge der Zielfunktionswerte — in welcher der hinsichtlich des betrachteten Zieles beste Zielwert den Zugehörigkeitswert eins und der schlechteste Zielwert den Wert null erhält — wird mit Hilfe eines erweiterten linearen Optimierungsansatzes — ähnlich der Maximierung eines Zielerreichungs-grades bei der Mehrfachzielsetzung — die optimale Lösung x opt mit z opt = f(x opt ) gesucht, die den Zugehörigkeitsgrad von Zielfunktionswert und Nebenbedingungen maximiert (vgl. ZIMMERMANN (1996), S. 295ff.). Eine solche scharfe Lösung teilt dem Prozeßadministrator mit, welche minimale Zykluszeit mit maximalem Zugehörigkeitsgrad erreicht werden kann und welcher Ablaufplan 6 dazu korrespondiert. Welche Bearbeitungszeiten die einzelnen Arbeitsgänge beanspruchen, wird dem Prozeßadministrator durch die Lösung nicht mitgeteilt. Zusätzlich sind, wie beim herkömmlichen linearen Optimierungsansatz, mehrere Ablaufpläne möglich, die zu einem optimalen Zielfunktionswert z führen. Der negative Nebeneffekt einer scharfen Lösung liegt jedoch in der Vernachlässigung der Unschärfe, da nur ein begrenzter, sehr konkreter Ausschnitt eines ex ante sehr vagen und unpräzisen Lösungs- bzw. Zielfunktionswertebereiches dargestellt wird. Dadurch verliert der Prozeßadministrator die Informationen über die vollständige unscharfe Menge der optimalen Lösungen (vgl. CHANAS (1993), S. 243). Mit Hilfe des Verfahrens von ZIMMERMANN und POLLATSCHEK (1984), bei dem es sich um ein Branch&Bound-Verfahren handelt, kann auch für ein BULP und unter Verwendung des Minimum-Operators eine scharfe Lösung bestimmt werden. Aus Gründen, auf die später noch eingegangen werden soll, sind jedoch weder dieses Verfahren noch der von ZIMMERMANN (1975) vorgeschlagene Ansatz zur unscharfen linearen Optimierung des Problems (5.5) — (5.10) geeignet, um dem Prozeßadministrator eine eindeutige Lösung mitzuteilen. Ein Verfahren zur Bestimmung einer scharfen Lösung eines nicht-symmetrischen unscharfen ganzzahligen linearen Optimierungsansatzes zur Reihenfolgeplanung mit unscharfen Bearbeitungszeiten und stetigen Zugehörigkeitsfunktionen -das auf dem Ansatz von ZIMMERMANN (1975) beruht — findet sich bei DAUB (1994).
Zur Herleitung von e jg siehe Abschnitt 5.3.1(b).
Die Nebenbedingung bezüglich der Reihenfolgebeziehungen wurde zu diesem Zweck umgeformt, damit sie der Darstellung des linearen Programmierungsproblems (5.17) entspricht. Diese Darstellung ist vergleichbar mit der in der Literatur gebräuchlichen Form für unscharfe lineare Optimierungsansätze (vgl. bspw. DUBOIS/PRADE (1980), S. 244ff.; ZIMMERMANN (1987), S. 71ff.; ROMMELFANGER (1995), S. 170ff.; HERRERA/VERDEGAY (1996), S. 581ff.; ZIMMERMANN (1996), S. 287ff.). Eine alternative Formulierung findet sich bei HAPKE/JASZKIEWICZ/SLOWINSKI (1993).
Vgl. auch Abschnitt 5.3.1(b).
Die Bedingung monoton fallender (bzw. auf der Grundmenge nach oben beschränkter) Zugehörigkeitsfunktionen der unscharfen Nebenbedingungen stellt eine wichtige Voraussetzung für die Lösung eines linearen Programmierungsproblems vom Typ (5.20) dar (vgl. auch Abschnitt 5.3.1(d)).
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Noeske, M. (1999). Verfahren zur Reihenfolgeplanung von Informationsaufträgen. In: Durchlaufzeiten in Informationsprozessen. Neue Betriebswirtschaftliche Forschung (nbf). Gabler Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-89916-3_5
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