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Spiegelungsprinzip und Dreiecksfunktionen

  • Wolfgang Fischer
  • Ingo Lieb
Part of the Vieweg Studium book series (VSAM, volume 48)

Zusammenfassung

Zwar sichert der Riemannsche Abbildungssatz die Existenz konformer Abbildungen (fast aller) einfach zusammenhängenden Gebiete auf den Einheitskreis, liefert aber kein Verfahren, bei einem (durch die Gleichungen des Randes) gegebenen Gebiet derartige Abbildungen etwa durch Formeln oder Differentialgleichungen zu bestimmen. Wir leisten hier Beiträge zu diesem Problem. Zunächst zeigen wir (§ 1) die stetige Fortsetzbarkeit auf den Rand bei konformen Abbildungen zwischen einfach zusammenhängenden Jordangebieten. Hilfsmittel zum Beweis sind die Ergebnisse von Fatou (Kapitel V, Satz 2.3). Bei analytisch berandeten Gebieten G kann die „Riemannsche Abbildungsfunktion“ f: G → D sogar holomorph über den Rand hinaus fortgesetzt werden (Schwarzsches Spiegelungsprinzip in § 2). Der hieraus resultierenden geometrischen Konstruktionsmöglichkeit für Klassen spezieller Funktionen ist der Rest des Kapitels gewidmet. In § 3 konstruieren wir auf diesem Wege die Modulfunktion X, die den Einheitskreis der zweimal punktierten Ebene überlagert, und erhalten so erneut den großen Picardschen Satz. Der nächste Paragraph bringt die Schwarz-Christoffel-Formeln (für geradlinig begrenzte Polygone ebenso wie für Kreisbogenpolygone), und in § 5 gehen wir auf die hier zwangsläufig auftauchende hypergeometrische Differentialgleichung ein. Damit hat man insbesondere eine explizite Lösung des Abbildungsproblems für Kreisbogendreiecke; wir verwenden sie, um die Blochsche Konstante nach oben abzuschätzen (§ 6).

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Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1988

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Fischer
  • Ingo Lieb

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