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Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

  • Wolfgang Fischer
  • Ingo Lieb
Part of the Vieweg Studium book series (VSAM, volume 48)

Zusammenfassung

Das Dirichlet-Problem stellt die Aufgabe, auf einem (beschränkten) Bereich eine harmonische Funktion zu finden, die am Rande des Bereichs gegen vorgeschriebene Randwerte strebt. Seine Lösung ist ein wichtiger Schritt bei der Konstruktion holomorpher Funktionen mit vorgegebenem Randverhalten. Eine lineare Funktion / auf einem Intervall [a, b] ist offenbar das Supremum aller unterhalb / gelegenen konvexen Funktionen auf [a, b]. Entsprechend werden wir das Dirichlet-Problem lösen durch Bildung des Supremums einer geeigneten Familie von „subharmonischen“ Funktionen (§§ 2,3). Die Lösung läßt sich unter geeigneten Glattheitsvoraussetzungen auch durch ein Integral über den Rand des Bereichs G beschreiben, in dessen Integrand die Greensche Funktion auftritt, das ist eine gewisse in G bis auf eine Singularität harmonische Funktion (§ 6). § 7* ordnet die Cauchysche Integralformel in diese Theorie ein — vgl. [26].

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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1988

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Fischer
  • Ingo Lieb

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