Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen der elementaren Funktionen (Wurzelfunktionen, Logarithmus, Arcussinus etc.) sind von Natur aus „mehrdeutige Funktionen“. Man kann zwar durch Wahl eines „Zweiges” auf einem geeigneten (etwa einfach zusammenhängenden) Definitionsgebiet Eindeutigkeit erzwingen, das ist aber stets mit willkürlichen Festlegungen verbunden. Es stellt sich die Aufgabe, das globale Verhalten einer mehrdeutigen Funktion zu studieren und einen organischen Zusammenhang zwischen ihren Zweigen herzustellen. Überdies soll durch geeignete Interpretation des Definitionsbereichs die „mehrdeutige“ Funktion zu einer eindeutigen gemacht werden. Diese Aufgabe wird mit Hilfe von Riemannschen Flächen, welche Gebiete auf der Zahlensphäre überlagern, gelöst.