Geometrische Splinekurven

Zusammenfassung

Den in den vorausgegehenden Kapiteln behandelten Splinekurven lag das Konzept der C^r-Stetigkeit aneinander anschließender Segmente, d.h. Übereinstimmung der ersten r Ableitungen in gemeinsamen Segmentrandpunkten, zu Grunde. Dies ist aber ein recht formales Argument, das analytisch begründet ist und unter Umständen eine äußerst unbefriedigende Interpretation des Glättebegriffes wiedergibt, wie das Beispiel aus Fig. 5.1 veranschaulicht. Zudem erweist sich der C^r-Übergang für viele Anwendungen als zu steif. Einerseits kann die Interpolation ungleichmäßig verteilter Daten sehr ungünstig ausfallen, auch bei Verwendung einer nicht-äquidistanten Parametrisierung, zum Beispiel dann, wenn ein Segment große Krümmungsänderungen relativ zu den Nachbarsegmenten beinhaltet. Andererseits lassen sich bestimmte (Flächen-)Segmentkonfigurationen erst gar nicht C^r-stetig realisieren (s. Kap. 7). Zudem ist C^r-Stetigkeit nicht invariant bzgl. Reparametrisierungen, wird also durch eine Umparametri-sierung zerstört. Umparametrisierungen können jedoch vielfälltig vorteilhaft eingesetzt werden, etwa

• beim Erzeugen einer optimalen Approximation mittels einer iterativen Parameterwertverbesserung [Hos 88]

• beim Glätten unerwünschter Krümmungen von Splinekurven und Spline-flächen [Schel 84]

• beim äußerst wichtigen Problem der Konversion zwischen unterschiedlichen Geometrie-Modellier-Systemen [Dan 85], [Hos 87, 88b].