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Implizite Verfahren auf Basis der Entropiekriterien

  • Nicole Branger
Chapter
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Part of the Gabler Edition Wissenschaft book series (GEW)

Zusammenfassung

Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit steht die Bewertung auf unvollständigen Märkten. Auf diesen existiert nicht für alle Derivate ein Duplikationsportfolio. Nicht redundante Derivate können damit weder perfekt abgesichert werden noch können sie alleine mittels der Forderung der Arbitragefreiheit eindeutig bewertet werden. Ansätze, die sich mit den Problemen der Bewertung und der Absicherung auf einem unvollständigen Markt beschäftigen, wurden in Kapitel 3 dargestellt. Im weiteren werden nun speziell implizite Verfahren betrachtet, die mittels der Entropie, der Cross-Entropie, der erweiterten Entropie und der erweiterten Cross-Entropie jeweils eine eindeutige Bewertungsfunktion auswählen. Die hierfür benötigten Entropiekriterien wurden in Kapitel 4 eingeführt.

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Literatur

  1. 1.
    Vgl. zu den zulässigen Bewertungsfunktionen Kapitel 2.3. Dort wird auch erläutert, wie zusätzlich Derivate berücksichtigt werden können, für die nur die heutigen Preise und die Zahlungen bei Fälligkeit, nicht aber die Preisprozesse bis Fälligkeit gegeben sind.Google Scholar
  2. 2.
    Vgl. Kapitel 3.1.1.Google Scholar
  3. 3.
    Vgl. Kapitel 3.1.2.Google Scholar
  4. 7.
    Vgl. hierzu Kapitel 2.3.2. Anzumerken ist an dieser Stelle, daß man stets davon ausgeht, daß die Bewertungsfunktion für pfadabhängige Zahlungen in T gegeben ist. Man steht damit nicht wie Rubinstein (1994) [93] vor dem Problem, die pfadunabhängigen Preise von Zuständen, die durch den Aktienkurs in T definiert sind, jeweils auf die einzelnen Pfade zu verteilen, die alle zu diesem Aktienkurs in T führen.Google Scholar
  5. 10.
    Vgl. zu dem Unterschied zwischen einer exakten und einer approximativen Kalibration S. 100.Google Scholar
  6. 12.
    Buchen, Kelly (1996) [18] weisen darauf hin, daß das von ihnen vorgestellte Verfahren immer dann anwendbar ist, wenn die Bewertungsfunktion durch den Erwartungswert einer bekannten Funktion der Zahlung in T unter einem unbekannten, noch zu bestimmenden Wahrscheinlichkeitsmaß beschrieben wird.Google Scholar
  7. 13.
    Vgl. hierzu auch Kapitel 3.3.Google Scholar
  8. 14.
    Avellaneda et al. (1999) [4] zeigen, daß man hier auch von einem varianzreduzierenden Verfahren sprechen kann.Google Scholar
  9. 16.
    Gulko (1999) [47] rechtfertigt die Wahl des äquivalenten Martingalmaßes, dessen Entropie maximal ist, durch die „Entropic Market Hypotheses“. Dieser Hypothese zufolge ist die Informationseffizienz des Marktes äquivalent dazu, daß zur Bewertung nicht redundanter Derivate die Verteilung mit der maximalen Entropie verwendet wird. Allerdings geht er nicht auf die Problematik ein, die sich daraus ergibt, daß man je nach verwendetem Numeraire eine andere Bewertungsfunktion erhält. Die hierdurch entstehende Verbindung zwischen der Informationseffizienz des Marktes und der Wahl eines Numeraire stellt meines Erachtens die von Gulko aufgestellte „Entropic Market Hypotheses“in Frage.Google Scholar
  10. 18.
    Vgl. hierzu S. 104.Google Scholar
  11. 21.
    Hierauf weisen auch Stutzer (1996) [105] und Buchen, Kelly (1996) [18] hin.Google Scholar
  12. 24.
    Stutzer (1996) [105] spricht in diesem Zusammenhang davon, daß sich in der historischen Verteilung die datenbasierten Einschätzungen der Investoren über die Zukunft widerspiegeln.Google Scholar
  13. 25.
    Vgl Kapitel 3.3.Google Scholar
  14. 26.
    Anschaulich gesprochen ist es die Aufgabe dieser a-priori Informationen, die Bewertungsfunktion in den Bereichen festzulegen, über die die Basiswertpapiere keine Aussage treffen. Vgl. Avellaneda et al. (1997) [6].Google Scholar
  15. 28.
    Der stochastische Diskontierungsfaktor ist definiert als der Arrow-Debreu-Preis pro Einheit Wahrscheinlichkeitsmasse. Vgl. Kapitel 2.3.Google Scholar
  16. 34.
    Vgl. hierzu den ersten in Kapitel 3.4 diskutierten Fall.Google Scholar
  17. 36.
    Eine nach den a-priori Informationen gegliederte Übersicht über die Verfahren ist auf S. 166 ff. zu finden.Google Scholar
  18. 37.
    Vgl. Rubinstein (1994) [93], Jackwerth, Rubinstein (1996) [66], (1997) [67] und speziell für Arbeiten, die auf der Entropie basieren, Buchen, Kelly (1996) [18] und Stutzer (1996) [105].Google Scholar
  19. 39.
    Vgl. Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  20. 40.
    Das Maß ist ein zulässiges äquivalentes Martingalmaß, wenn bereits die a-priori Bewertungsfunktion zulässig und arbitragefrei ist. Vgl. zu dem Unterschied zwischen einer Bewertungsfunktion und einer zulässigen Bewertungsfunktion auch Kapitel 2.3.1.Google Scholar
  21. 41.
    Vgl. Kapitel 2.3.1.Google Scholar
  22. 42.
    Hier wird ein zeit- und zustandsdiskretes Modell unterstellt. Unter technischen Bedingungen kann das Problem auch in einem zeit- und zustandsstetigen Modell gelöst werden. Betrachtet man ein Modell, in dem die Unsicherheit durch einen mehrdimensionalen Wiener Prozeß erzeugt wird, dann sind bei der Modellspezifikation der Drift und die Volatilität der Basiswertpapiere unter dem a-priori Maß P festzulegen. Führt man eine Maßtransformation durch, so haben die Prozesse unter dem neuen Maß einen anderen Drift, aber nach wie vor die gleiche Volatilität (vgl. Samperi (1999) [96], der hier von „thin subsef-Problemen spricht). Dies ist dann problematisch, wenn die verschiedenen Bewertungsmodelle, von denen eines auszuwählen ist, sich gerade in der (deterministischen) Volatilität unterscheiden. Avellaneda et al. (1997) [6] umgehen dieses Problem, indem sie direkt eine „entropieähnliche“Funktion der Volatilitäten minimieren. Man kann, worauf Avellaneda et al. (1997) [6] hinweisen, das Problem auch dadurch umgehen, daß man anstelle eines stetigen Modells ein diskretes Modell betrachtet, das dieses stetige Modell approximiert.Google Scholar
  23. 43.
    Vgl. z.B. Stutzer (1996) [105].Google Scholar
  24. 44.
    Vgl. Gleichung (4.19).Google Scholar
  25. 45.
    Vgl. Kapitel 3.1.Google Scholar
  26. 49.
    Vgl. Kapitel 2.3.2. Dort sind die Bedingungen aufgeführt, die eine zulässige Bewertungsfunkton erfüllen muß, die durch das äquivalente Martingalmaß zu einem Numeraire und den Preisprozeß des Numeraire beschrieben wird.Google Scholar
  27. 52.
    Vgl. hierzu auch Kapitel 2.4.2.Google Scholar
  28. 54.
    Der Zusammenhang zwischen den Marktpreisen des Risikos und dem Maßwechsel von P zu einem signierten Martingalmaß zum Numeraire Z wird in Kapitel 2.4.1 dargestellt.Google Scholar
  29. 55.
    Vgl. Kapitel 2.3.2 sowie S. 171–172.Google Scholar
  30. 56.
    Auf den Zusammenhang zwischen der Minimierung der Cross-Entropie und der Lösung eines Portfo-lioplanungsproblems weisen beispielsweise auch Avellaneda et al. (1999) [4] und Frittelli (2000) [38] hin. Sie gehen jedoch nicht auf die Rolle des Numeraire Z ein.Google Scholar
  31. 58.
    Vgl. z.B. Samperi (1998) [94], Rheinländer (1999) [92], Frittelli (2000) [38] oder Delbaen et al. (2000) [29].Google Scholar
  32. 59.
    Vgl. hierzu den ersten Teil von Kapitel 3.4.Google Scholar
  33. 62.
    Vgl. Gleichung (4.11).Google Scholar
  34. 63.
    Vgl. hierzu auch Kapitel 3.3.Google Scholar
  35. 64.
    Vgl. Gleichung (5.7).Google Scholar
  36. 65.
    Vgl. Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  37. 66.
    Vgl. Kapitel 2.4.1Google Scholar
  38. 68.
    Die Arrow-Debreu-Preise sind unter Umständen mit einem Proportionalitätsfaktor zu multiplizieren, um die richtige Bewertung des Numeraire sicherzustellen. Vgl. S. 196f.Google Scholar
  39. 71.
    Vgl. hierzu Avellaneda (1998) [5] und Stutzer (1996) [105].Google Scholar
  40. 73.
    Ist ein a-priori Maß gegeben, so wird dies auf S. 221 diskutiert. Ist eine a-priori Bewertungsfunktion gegeben, so wird dies auf S. 239 dargestellt. Und sind keine a-priori Informationen gegeben, so ist die Diskussion auf S. 248 zu finden.Google Scholar
  41. 74.
    Der stochastische Diskontierungsfaktor ist definiert als der Arrow-Debreu-Preis pro Einheit Wahrscheinlichkeitsmasse. Vgl. hierzu Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  42. 75.
    Vgl. Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  43. 76.
    Dieses Auswahlkriterium wurde in Kapitel 5.2.1 dargestellt.Google Scholar
  44. 78.
    Vgl. Gleichung (4.45).Google Scholar
  45. 79.
    Vgl. Gleichung (4.46).Google Scholar
  46. 80.
    Vgl. S. 145.Google Scholar
  47. 81.
    Vgl. Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  48. 82.
    Ist nur der Preisprozeß des Numeraire gegeben, dann ist jedes zu P äquivalente, hier also streng positive Maß ein zulässiges äquivalentes Martingalmaß zu diesem Numeraire.Google Scholar
  49. 83.
    Die Wahl von c hat laut Gleichung (4.47) keinen Einfluß auf die erweiterte Cross-Entropie.Google Scholar
  50. 84.
    Dieser Zusammenhang wird in Kapitel 5.4 nochmals aufgegriffen werden.Google Scholar
  51. 87.
    In dem Fall, in dem die in T fällige Nullkuponanleihe gehandelt wird, entspricht die hier diskutierte Wahl des stochastischen Diskontierungsfaktors mit der minimalen erweiterten Cross-Entropie gegenüber P gerade der Wahl des äquivalenten Martingalmaßes zum Numeraire Nullkuponanleihe mit der minimalen Cross-Entropie gegenüber P. Die Zeitkonsistenz dieses Verfahrens überträgt sich dann auf das hier diskutierte Auswahlkriterium.Google Scholar
  52. 90.
    Vgl. auch Fußnote 88. Dort wurde gezeigt, daß in diesem Fall die aus dem Portfolioplanungsproblem folgende Bewertungsfunktion und die durch Minimieren der erweiterten Cross-Entropie des stochastischen Diskontierungsfaktors gegenüber P folgende Bewertungsfunktion unabhängig vom Anfangsvermögen W(0) übereinstimmen.Google Scholar
  53. 91.
    Dies hätte mein auch so zeigen können, daß man ausgehend von dem Portfolioplanungsproblem in der Originalökonomie das zugehörige Auswahlkriterium für die Bewertungsfunktion bestimmt hätte. Hilfsmittel hierfür ist die Risk-Management-Dualität, die z.B. bei Samperi (1998) [94] zu finden ist. Dieses Vorgehen führt in der Tat auf das Kriterium, die erweiterte Cross-Entropie des stochastischen Diskontierungsfaktors gegenüber P zu minimieren. Hier wurde auf diese direkte Herleitung verzichtet und stattdessen die Lösung vorgegeben.Google Scholar
  54. 92.
    Vgl. S. 196.Google Scholar
  55. 93.
    Vgl. Gleichung (5.43).Google Scholar
  56. 95.
    Vgl. Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  57. 96.
    Man geht davon aus, daß dieses Maß P streng positiv ist, schränkt es aber ansonsten nicht weiter ein.Google Scholar
  58. 97.
    Vgl. Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  59. 98.
    Man fordert an dieser Stelle nur, daß das Maß streng positiv ist. Inwieweit P einen Einfluß auf die ausgewählte Bewertungsfunktion hat, wird im folgenden noch zu diskutieren sein.Google Scholar
  60. 99.
    Vgl. Gleichung (4.50)Google Scholar
  61. 100.
    Vgl. Gleichung (4.51).Google Scholar
  62. 103.
    Vgl. Gleichung (4.28).Google Scholar
  63. 104.
    Vgl. Gleichung (4.29).Google Scholar

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© Deutscher Universitäts-Verlag GmbH, Wiesbaden 2002

Authors and Affiliations

  • Nicole Branger

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