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Unvollständige Märkte

  • Nicole Branger
Chapter
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Part of the Gabler Edition Wissenschaft book series (GEW)

Zusammenfassung

Reale Märkte sind in der Regel unvollständig. Es werden bei weitem nicht so viele Optionen auf den DAX gehandelt, wie dies bei Marktvollständigkeit der Fall sein müßte. Erst recht gilt dies für die weniger liquiden Aktien des M-DAX. Auch die Zahl der gehandelten risikolosen Anleihen erweist sich in der Regel als zu klein, um die risikolose Zinsstruktur eindeutig zu bestimmen. Ein weiteres Problem stellen ausfallrisikobehaftete Anleihen oder allgemeiner Kredite dar. Auch hier reichen die gehandelten Titel bei weitem nicht aus, um die Credit Spread Struktur1 für jeden einzelnen Emittenten zu bestimmen.

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Literatur

  1. 1.
    Der Credit Spread bezeichnet die Differenz zwischen dem Zins bei Ausfallrisiko und dem risikolosen Zins. Er hängt von der betrachteten Laufzeit ab und stellt eine Prämie für die Übernahme von Ausfallrisiko dar.Google Scholar
  2. 2.
    Vgl. hierzu z.B. Bingham, Kiesel (1998) [12], Hull (2000) [59].Google Scholar
  3. 3.
    Man spricht auch davon, daß arbitrageorientierte Bewertung relative Bewertung ist.Google Scholar
  4. 4.
    Im Modell von Black, Scholes kann man mittels Hedgingargumenten die fundamentale partielle Differentialgleichung für den Wert eines Derivates ableiten. Ein analoges Vorgehen führt im Falle eines unvollständigen Marktes auf eine Gleichung, die die Ableitungen der Preise von zwei oder mehr nicht redundanten Derivaten zueinander in Beziehung setzt. Ein Beispiel für den Fall stochastischer Volatilität ist zu finden bei Wilmott (1998) [109].Google Scholar
  5. 5.
    In einem zeit- und zustandsdiskreten Modell ist die Zahl der Risikoquellen gerade gleich der Zahl der Basismartingale und damit um Eins kleiner als der Splitting Index des Modells. Vgl. hierzu Kapitel 2.4.1.Google Scholar
  6. 6.
    Im Modell von Black, Scholes liegt nur eine Risikoquelle vor, der Wiener Prozeß. Im Falle von Cox, Ross, Rubinstein ist der Splitting Index der Ökonomie zwei. Damit reichen in beiden Fällen zwei unabhängige Wertpapiere aus.Google Scholar
  7. 7.
    Der Smileeffekt, d.h. die Abhängigkeit der impliziten Volatilität vom Basispreis, wird z.B. von Rubinstein (1994) [93] empirisch dokumentiert. Longstaff (1995) [77] zeigt als weitere empirische Widerlegung des Modells von Black-Scholes, daß die implizite Bestimmung des Aktienkurses und der Volatilität aus den Preisen von gehandelten Optionen auf einen impliziten Aktienkurs führt, der systematisch vom beobachteten Marktpreis abweicht. Mayhew(1995) [82] gibt u.a. einen Überblick über Verfahren, die aus den vom Basispreis abhängigen Volatilitäten eine eindeutige Volatilität des Underlyings bestimmen. Er weist aber darauf hin, daß die Abhängigkeit der Volatilität vom Basispreis letztendlich gegen das Modell von Black, Scholes spricht. Dieses zugrundeliegende Problem kann auch durch die Mittelung der Volatilitäten nicht gelöst werden.Google Scholar
  8. 9.
    Ein Überblick über deterministische Volatilitätsmodelle ist zu finden bei Skiadopoulos (1999) [103]. Er geht darüber hinaus auch auf Modelle ein, die die Volatilitätsstruktur als stochastisch ansehen.Google Scholar
  9. 10.
    Vgl. zu diesem Beispiel Björk (1998) [13].Google Scholar
  10. 11.
    Ein Zinsmodell, das auf dem kurzfristigen Zins basiert, ist beispielsweise das Modell von Vasicek (1977) [107]. Eine Übersicht über Zinsmodelle ist zu finden bei Madjlessi (1996) [78] und bei James, Webber (2000) [68]. Speziell das obige Problem der Marktunvollständigkeit wird diskutiert von Björk (1998) [13].Google Scholar
  11. 12.
    Es wird angenommen, daß kein Modellrisiko besteht.Google Scholar
  12. 13.
    Ist der Markt unvollständig und arbitragefrei, so gibt es mehr als eine Bewertungsfunktion, die mit den gegebenen Preisprozessen der Basiswertpapiere vereinbar ist und ein arbitragefreies Preissystem beschreibt. Für ein nicht redundantes Derivat führen diese Bewertungsfunktionen auf unterschiedliche Preise. Die obige Argumentation kann man nun auch so zusammenfassen, daß es nicht möglich ist, einen dieser Preise mittels Arbitrageargumenten als falsch abzulehnen.Google Scholar
  13. 14.
    Das neu zu bewertende Derivat sollte dann das gleiche Underlying haben wie die Derivate, deren Preise beobachtet werden.Google Scholar
  14. 15.
    Vgl. Cont (1997) [22]. Im letzten Fall wird implizit angenommen, daß sich durch die Einführung neuer Derivate die Bewertungsfunktion nicht ändert.Google Scholar
  15. 16.
    Im einfachsten Fall eines einperiodigen diskreten Modells sind die Arrow-Debreu-Preise mittels eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen.Google Scholar
  16. 17.
    Hierbei setzt man zusätzlich voraus, daß keines der gegebenen Wertpapiere redundant ist und daß die möglichen Aktienkurse in T passend zu den Basispreisen der Optionen gewählt sind.Google Scholar
  17. 18.
    Breeden, Litzenberger (1978) [15] zeigen, wie man aus den Preisen dieser Calloptionen die Preise der Zustände erhält.Google Scholar
  18. 19.
    Derman, Kani (1998) [31] zeigen, wie aus den Callpreisen die nur von der Zeit und dem Aktienkurs abhängige Volatilitätsfunktion bestimmt werden kann.Google Scholar
  19. 20.
    Samperi (1999) [95] spricht hier von einem „ill-posed problem“.Google Scholar
  20. 21.
    Die Zinsstruktur ist der Ausgangspunkt für zinsstrukturkonforme Modelle wie Ho, Lee (1986) [56] oder Heath, Jarrow, Morton (1992) [52].Google Scholar
  21. 22.
    Britten-Jones, Neuberger (2000) [16] zeigen, daß hier ohne einschränkende Annahmen auch die Preise von pfadabhängigen Derivaten benötigt werden. Auf diese Problematik weisen auch Breeden, Litzen-berger (1978) [15] bereits hin. Sie betonen, daß man aus den Preisen der in T fälligen Calloptionen nur die Preise der Zustände in T erhält, die eindeutig durch den Stand des Underlyings zu diesem Zeitpunkt T beschrieben werden, nicht aber die Preise von Underlyingpreispfaden.Google Scholar
  22. 24.
    Im Zusammenhang mit Hedging-Strategien ist hier das Portfolio aus dem Derivat und dem Absicherungsportfolio zu betrachten. Seine Zahlungen entsprechen gerade dem Hedgefehler.Google Scholar
  23. 25.
    Im einfachsten Fall verfolgt er einen μ-σ-Ansatz. Vgl. Markowitz 1952 [81].Google Scholar
  24. 26.
    Vgl. auch Ingersoll (1987) [60].Google Scholar
  25. 27.
    Hier kann man auch allgemein die Steuerung des Risikos im Rahmen des Risk-Management untersuchen. Vgl. Göppl, Schlag (1995) [41].Google Scholar
  26. 28.
    Diese Risikomaße werden im folgenden noch definiert.Google Scholar
  27. 29.
    Vgl. zur Risikomessung in der externen Rechnungslegung von Banken und im Aufsichtsrecht Haaß (2001) [49]. Die gesetzlichen Regelungen sind im Kreditwesengesetz (KWG) und im Grundsatz I zu finden. Vgl. zur Regulierung von Banken auch Burghof, Rudolph (1996) [19] und zur Bilanzierung von Banken Krumnow et al. (1994) [72].Google Scholar
  28. 30.
    Vgl. hierzu die Ausführungen von Ingersoll (1987) [60] zum intertemporalen CAPM.Google Scholar
  29. 31.
    Vgl. Kapitel 3.2.1. Es ist zu beachten, daß ein positiver Hedgefehler einem Verlust und ein negativer Hedgefehler einem Gewinn entspricht.Google Scholar
  30. 33.
    Vgl. Kapitel 3.2.3.Google Scholar
  31. 34.
    Vgl. Föllmer, Leukert (1999) [36], die hier von „Quantile Hedging“sprechen.Google Scholar
  32. 35.
    Vgl. Schulmerich, Trautmann (2000) [99]Google Scholar
  33. 36.
    Vgl. Kapitel 3.2.4.Google Scholar
  34. 37.
    Auf die gesetzlichen Regelungen zur Aufsicht soll hier nicht eingegangen werden. Vgl. für einen Überblick z.B. Haaß (2001) [49].Google Scholar
  35. 38.
    Vgl. zum Value at Risk z.B. Neumann (1999) [89]. Hier wählt man als Benchmark oft die Kassenhaltung.Google Scholar
  36. 39.
    Vgl. beispielsweise Musiela, Rutkowski (1997) [86] und Pliska (1997) [91].Google Scholar
  37. 40.
    Ein Derivat mit Zahlung X(T) dominiert ein Derivat mit Zahlung Y(T), wenn P(X(T) ≥ Y(T)) = 1 gilt. Vgl. Ingersoll (1987) [60].Google Scholar
  38. 41.
    Vgl. z.B. Pliska (1997) [91].Google Scholar
  39. 42.
    An dieser Stelle sollen die zentralen Ideen und Ergebnisse gezeigt werden. Eine ausführliche Herleitung muß aus Platzgründen unterbleiben. Hier sei u.a. auf Schweizer (1995) [100], (1996) [101], (1999) [102] Musiela, Rutkowski (1997) [86], Bingham, Kiesel (1998) [12], Grünewald (1998) [44] und Černý (1999) [20] verwiesen.Google Scholar
  40. 43.
    In der Literatur ist dabei oft die Annahme zu finden, daß es sich bei den Preisen bereits um diskontierte Preise handelt, daß das Problem also in einer normierten Ökonomie gelöst wird. Gourieroux, Laurent, Pham (1998) [42] zeigen, welcher Zusammenhang zwischen dem Problem in der Originalökonomie und dem entsprechenden Problem in der normierten Ökonomie besteht. Insbesondere zeigen sie, daß die Wahl eines stochastischen Numeraire dazu führt, daß sich beim Übergang von der Originalökonomie zur normierten Ökonomie das Maß ändert.Google Scholar
  41. 44.
    Vgl. hierzu Gourieroux, Laurent, Pham (1998) [42] und Černý (1999) [20]. Gourieroux, Laurent, Pham zeigen diese Aussage in einem zeit- und zustandsstetigen Modell, in dem die Unsicherheit erzeugt wird durch Wiener Proezsse und in dem somit die Preisprozesse der Basiswertpapiere stetig sind. Die von ihnen erhaltene Charakterisierung der Bewertungsfunktion durch die minimale quadratische Norm des stochastischen Diskontierungsfaktor läßt sich auf die hier betrachteten zeit- und zustandsdiskreten Modelle übertragen, ein Beweis ist bei Černý (1999) [20] zu finden. Des weiteren bezeichnen Gourieroux, Laurent, Pham in Erweiterung der Notation jedes äquivalente Martingalmaß zu einem Numeraire Z, daß die durch diesen stochastischen Diskontierungsfaktor beschriebene Bewertungsfunktion darstellt, als das varianzoptimales Martingalmaß zum Numeraire Z. Google Scholar
  42. 45.
    In Erweiterung der Notation kann man jedes äquivalente Martingalmaß zu einem Numeraire Z, das die durch diesen stochastischen Diskontierungsfaktor beschriebene Bewertungsfunktion darstellt, als das minimale Martingalmaß zum Numeraire Z bezeichnen.Google Scholar
  43. 47.
    Hierauf weisen auch Bingham, Kiesel (1998) [12] hin.Google Scholar
  44. 48.
    Schweizer (1996) [101] bezeichnet das optimale Anfangsvermögen deshalb auch nur als „Approximation Price“, nicht aber als Preis.Google Scholar
  45. 49.
    Avellaneda (1998) [5] weist darauf hin, daß aufgrund der Marktunvollständigkeit jede Wahl einer Bewertungsfunktion letztendlich willkürlich ist.Google Scholar
  46. 50.
    Hier ist auch anzumerken, daß es für eine feste Bewertungsfunktion nicht ein äquivalentes Martingalmaß gibt, sondern daß das äquivalente Martingalmaß wie in Kapitel 2.3.2 gezeigt von der Wahl des Numeraire abhängt. Vor der Gleichsetzung der beiden Maße wäre damit noch festzulegen, welches äquivalente Martingalmaß mit dem subjektiven Maß übereinstimmen soll.Google Scholar
  47. 51.
    Vgl. auch Kapitel 2.Google Scholar
  48. 52.
    Vgl. Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  49. 53.
    Die Preisprozesse müssen so gewählt sein, daß eine streng positive Bewertungsfunktion existiert. Vgl. Kapitel 2.2.Google Scholar
  50. 54.
    Vgl. Andersen, Brotherton-Ratcliffe (1997) [1] und allgemein zur Methode finite Differenzen Clewlow, Strickland 81998) [21].Google Scholar
  51. 55.
    Ein Grund hierfür können Marktfriktionen sein. Des weiteren ist zu beachten, daß die beobachteten Preise stets auf einen diskreten Wert gerundet sind. Auch wenn man Bid und Ask jeweils durch den Midpoint ersetzt und diesen als exakten Preis ansieht, kann es zu Arbitragemöglichkeiten im Modell kommen.Google Scholar
  52. 56.
    Dieser Fall tritt z.B.auf, wenn ein Call mit einem streng positiven Marktwert gegeben ist, dessen Basispreis größer ist als der größte im Modell auftretende Aktienkurs.Google Scholar
  53. 57.
    Rubinstein (1994) [93] betrachtet ein Binomialmodell. Er gibt neben dem Preisprozeß des Geldmarktkontos die Preise von einigen Calloptionen vor. Des weiteren gibt er den Aktienkurs bei Fälligkeit vor. Würde er darüber hinaus auch den Preisprozeß der Aktie vorgeben, dann wäre das Modell überbestimmt. Der Aktienpreisprozeß kann damit nur modellendogen bestimmt werden.Google Scholar
  54. 58.
    Samperi (1999) [96] unterscheidet hier zwischen harten und weichen Nebenbedingungen. Harte Nebenbedingungen müssen erfüllt werden. Weiche Nebenbedingungen dürfen verletzt werden, die Verletzungen werden aber bestraft.Google Scholar
  55. 59.
    Es wird also gefordert, daß die ermittelte Bewertungsfunktion zulässig ist (vgl. Definition 2.14). In Erweiterung des Begriffs der Zinsstrukturkonformität, der beispielsweise bei Madjlessi (1996) [78] zu finden ist, könnte man hier auch von „Marktpreiskonformität“ oder von „Basispreisprozeßkonformität“ sprechen.Google Scholar
  56. 60.
    Jackwerth, Rubinstein (1996) [65] diskutieren die Verwendung von Midpoints gegenüber der Verwendung von Quotes.Google Scholar
  57. 61.
    Beispiele hierfür sind zu finden bei Avellaneda et al. (1999) [4] und bei Jackwerth (2000) [64].Google Scholar
  58. 62.
    Sind für einen Fälligkeitstermin die Preise von Calls für alle Basispreise gegeben, dann folgt die Bewertungsfunktion für Zahlungen, die zu diesem Fälligkeitstermin erfolgen, aus der Formel von Breeden, Litzenberger (1978) [15].Google Scholar
  59. 63.
    Auf die dabei verwendeten Verfahren soll nicht eingegangen werden. Hier sei unter anderem auf den Überblicksartikel von Jackwerth (1999) [62] verwiesen. Auch auf die Verwendung von Kernschätzern sei hingewiesen, die z.B. bei Herrmann (1999) [53] zu finden ist.Google Scholar
  60. 64.
    Die Struktur des Modells kann als eine Art Vorabwissen oder als Annahmen über das Verhalten am Markt interpretiert werden.Google Scholar
  61. 65.
    Auch das erweiterte Modell, in dem sie zusätzlich eine stochastische Volatilität unterstellen, kann ausgehend von einem vorgegebenen Prozeß für die Volatilität unter zusätzlichen Annahmen eindeutig kalibriert werden. Hierzu wird unter anderem gefordert, daß bestimmte Wahrscheinlichkeiten nur im jeweils gleichen Verhältnis verändert werden dürfen.Google Scholar
  62. 66.
    Dies führt schließlich dazu, daß die Preise von Calloptionen zu jedem Zeitpunkt monoton wachsend im Aktienkurs sind. Bergman, Grundy, Wiener (1996) [11] sprechen in einem stetigen Modell in diesem Zusammenhang auch von der „no-crossing“-Eigenschaft des Underlyingpreisprozesses.Google Scholar
  63. 67.
    Die Annahme, daß alle zu einem Knoten führenden Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, kann man unter bestimmten Voraussetzungen als das Ergebnis einer Entropiemaximierung interpretieren. Das Konzept der Entropie wird in Kapitel 4.1.1 dargestellt, die Maximierung der Entropie in Kapitel 4.2.2.Google Scholar
  64. 68.
    Vgl. hierzu Samperi (1999) [96].Google Scholar
  65. 69.
    Man spricht hier auch von einem „penalty approach“.Google Scholar
  66. 70.
    Vgl. z.B. Bakshi, Cao, Chen (1997) [8] und Belledin, Schlag (1999) [10].Google Scholar
  67. 71.
    Diese und die nachfolgenden Fragen können in Zusammenhang mit dem in Kapitel 5.1.3 eingeführten Begriff der Zeitkonsistenz von impliziten Verfahren gesehen werden.Google Scholar
  68. 72.
    Vgl. Kapitel 3.2.4.Google Scholar
  69. 73.
    Eine ähnliche Idee ist bei Avellaneda et al. (1999) [4] zu finden.Google Scholar
  70. 74.
    Hier kann beispielsweise ein parametrisches Optionsbewertungsmodell am Anfang stehen, das anhand von Marktpreisen kalibriert wird. Ist die Zahl der Paramter kleiner als die Zahl der Marktpreise, so ist in der Regel nur eine approximative Kalibrierung möglich, und die Bewertungsfunktion ist nicht zulässig. Das hier wohl am häufigsten verwendete Modell ist das von Black, Scholes (1973) [14]. Aber auch Modelle mit stochastischer Volatilität wie Stein, Stein (1991) [104], Heston (1993) [54], Schöbel, Zhu (1998) [98]und auch Zinsmodelle wie Vasicek (1977) [107] oder Cox, Ingersoll, Ross (1985) [25] können am Anfang stehen. Auch das Modell von Bakshi, Cao, Chen (1997) [8], das Sprünge, stochastische Zinsen und stochastische Volatilität berücksichtigt, ist an dieser Stelle zu nennen.Google Scholar
  71. 75.
    Beispiele hierfür sind in Kapitel 5 zu finden.Google Scholar
  72. 76.
    Vgl. auch hierzu 5.Google Scholar
  73. 77.
    Vgl. zur Nutzentheorie, zur Portfolioplanung und zum Zusammenhang von Portfolioplanung und Bewertung beispielsweise Ingersoll (1987) [60], Huang, Litzenberger (1988) [57], Duffie (1996) [33], Magill, Quinzii (1996) [80] und Meyer (1999) [85].Google Scholar
  74. 78.
    Vgl. hierzu Davis (1997) [28].Google Scholar
  75. 79.
    Vgl. Kapitel 2.1.3.Google Scholar
  76. 80.
    Diese Voraussetzung ist mit Sicherheit erfüllt, wenn die Nutzenfunktion U wie hier angenommen streng monoton wachsend ist, der Investor also stets mehr Wohlstand weniger Wohlstand vorzieht.Google Scholar
  77. 81.
    Es wird angenommen, daß sich durch die Einführung der Derivate die Preise der bereits gehandelten Wertpapiere nicht ändern.Google Scholar
  78. 82.
    Vgl. beispielsweise Frittelli (2000) [37J.Google Scholar
  79. 83.
    Ein ausführlicher Überblick über das Vorgehen wird in Kapitel 5.1 gegeben werden.Google Scholar

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© Deutscher Universitäts-Verlag GmbH, Wiesbaden 2002

Authors and Affiliations

  • Nicole Branger

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