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Grundlagen der Bewertung

  • Nicole Branger
Chapter
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Part of the Gabler Edition Wissenschaft book series (GEW)

Zusammenfassung

Ein Markt wird als arbitragefrei bezeichnet, wenn es nicht möglich ist, durch den Handel von Wertpapieren ohne Kapitaleinsatz und ohne Risiko1 einen Gewinn zu erzielen. Das Konzept der Arbitragefreiheit ist ein mächtiges Instrument zur Bewertung von Derivaten. Die Idee soll kurz skizziert werden: Betrachtet wird ein Markt, auf dem bereits eine Menge an Wertpapieren gehandelt wird. Auf diesem Markt wird ein neues Derivat eingeführt, das durch seine Auszahlungen in der Zukunft beschrieben ist. Ist es möglich, aus den gehandelten Wertpapieren ein Portfolio zusammenzustellen, das genau die gleichen Zahlungen aufweist wie das neu zu bewertende Derivat, so muß der Preis dieses Duplikationsportfolios mit dem Preis des Derivates übereinstimmen. Andernfalls könnte man das teurere der beiden (Duplikationsportfolio oder Derivat) verkaufen und das billigere kaufen. Die Zahlungen in der Zukunft würden sich aufheben, und die heutige Preisdifferenz wäre ein risikoloser Gewinn ohne Kapitaleinsatz. „Gierige“Investoren, die mehr Wohlstand weniger Wohlstand vorziehen, würden ein solches Geschäft unendlich oft durchführen, und der Markt wäre nicht im Gleichgewicht.

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Literatur

  1. 2.
    Die im folgenden dargestellte Theorie ist z.B. zu finden bei Dothan (1990) [32], Baxter, Rennie (1996) [9], Duffie (1996) [33], Musiela, Rutkowski (1997) [86], Pliska (1997) [91] und Bingham, Kiesel (1998) [12].Google Scholar
  2. 3.
    Die Darstellung in diesem Kapitel verwendet Definitionen und Konzepte der Stochastischen Analysis. Eine ausführliche Darstellung der Theorie und der Anwendung im Bereich des Finance ist z.B. zu finden bei Dothan (1990) [32], Neftci (1996) [87] und Bingham, Kiesel (1998) [12].Google Scholar
  3. 5.
    Eine Darstellung der Bewertung in zeit- und zustandsdiskreten Modellen ist z.B. zu finden bei Schlag (1995) [97].Google Scholar
  4. 6.
    Die Schreibweise orientiert sich an Williams (1991) [108, S. 93]. Dabei bezeichnet Ω die Menge aller Zustände, F die Menge aller betrachteten Ereignisse, F die Filtration und P das Wahrscheinlichkeitsmaß.Google Scholar
  5. 7.
    Zur Vereinfachung der Schreibweise wird darauf verzichtet, das Wahrscheinlichkeitsmaß von Investor i mit i zu indizieren. Vgl. auch Schlag (1995) [97]Google Scholar
  6. 8.
    Vgl. zu den beiden folgenden Annahmen z.B. Kruschwitz (1999) [73, S. 140].Google Scholar
  7. 9.
    Zwei Wahrscheinlichkeitsmaße werden als äquivalent bezeichnet, wenn sie genau den gleichen Ereignissen die Wahrscheinlichkeit Null zuweisen. Vgl. Definition 2.9.Google Scholar
  8. 10.
    Bei amerikanischen Optionen hängen die Zahlungen davon ab, ob vorzeitig ausgeübt wird oder nicht. Damit wird eine amerikanische Option streng genommen beschrieben durch die zeit- und zustands-abhängigen Zahlungen, die man zu den einzelnen Zeitpunkten und in den einzelnen Zuständen erhält, wenn man sich für die Ausübung der Option entscheidet. Da jedoch im folgenden nur europäische Derivate betrachtet werden, soll auf diesen Punkt nicht weiter eingegangen werden. Vgl. zur Bewertung von amerikanischen Optionen z.B. Bingham, Kiesel (1998) [12].Google Scholar
  9. 16.
    Vgl. zu den beiden folgenden Annahmen z.B. Kruschwitz (1999) [73, S. 140f.].Google Scholar
  10. 18.
    Ein stochastischer Prozeß {X(t)}t =1,...,Tist vorhersagbar (im Englischen predictable), wenn X(t) für t=1,...,T eine F t-1-meßte Zufallsvariable ist. Vgl. Dothan (1990) [32].Google Scholar
  11. 20.
    Man fordert des weiteren nicht, daß der Wert des Portfolios stets positiv ist. Diese Einschränkung ist zum Teil zu finden im Rahmen der Portfolioplanung, wenn ein negativer Konsum ausgeschlossen werden soll. Vgl. z.B. Korn (1997) [71].Google Scholar
  12. 24.
    In der Literatur findet man im Rahmen der Portfolioplanung zum Teil eine abweichende Definition. Dort bezeichnet man bei Vorgabe eines Konsumprozesses eine Handelsstrategie als selbstfinanzierend, wenn die Strategie genau die Mittel freisetzt, die für den Konsum benötigt werden. Vgl. Korn (1997) [71].Google Scholar
  13. 25.
    Zum Teil betrachtet man auch die Menge aller Zahlungen, die durch die Zahlungen aus ℊ(0, t,c) dominiert werden. Für diese Zahlungen gilt, daß sie mit einem Anfangsvermögen von c superrepliziert werden können. Anschaulich gesprochen handelt es sich dabei um die Menge aller Zahlungen in t, die der Investor durch Verfolgen einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie und „Wegwerfen“von Geld erreichen kann. Vgl. z.B. Frittelli (2000) [37].Google Scholar
  14. 26.
    Genau dieser Gedanke liegt der arbitrageorientierten Bewertung zugrunde. Vgl. Kapitel 2.2.Google Scholar
  15. 27.
    Vgl. zu dieser Definition auch Gourieroux, Laurent, Pham (1998) [42]. Anzumerken ist, daß das Numeraire auch im Rahmen der Bewertung von Bedeutung ist, wenn Bewertungsfunktionen durch äquivalente Martingalmaße dargestellt werden.Google Scholar
  16. 28.
    Vgl. hierzu beispielsweise Bingham, Kiesel (1998) [12], Gourieroux, Laurent, Pham (1998) [42] und Rheinländer (1999) [92].Google Scholar
  17. 31.
    Ein redundantes Derivat kann durch ein Portfolio aus den Basiswertpapiere dupliziert werden. Vgl. hierzu Kapitel 2.2.1.Google Scholar
  18. 32.
    Dieses Maß ist, wie in Kapitel 2.2.2 noch gezeigt wird, abhängig von der Wahl des Numeraire.Google Scholar
  19. 35.
    Vgl. zu diesem Vorgehen Gourieroux, Laurent, Pham (1998) [42].Google Scholar
  20. 37.
    Vgl. zur Notation auch S. 13f.Google Scholar
  21. 38.
    Die im folgenden dargestellte Theorie ist z.B. zu finden bei Dothan (1990) [32], Baxter, Rennie (1996) [9], Duffie (1996) [33], Musiela, Rutkowski (1997) [86], Pliska (1997) [91] und Bingham, Kiesel (1998) [12].Google Scholar
  22. 39.
    Vgl. hierzu z.B. Dothan (1990) [32] und Schlag (1995) [97].Google Scholar
  23. 40.
    Vgl. hierzu auch S. 42.Google Scholar
  24. 42.
    Eine Darstellung der Rückwärtsrechnung und der Modifikationen bei Derivaten mit zwischenzeitlichen Zahlungen und bei amerikanischen Derivaten ist bei Irle (1998) [61] zu finden.Google Scholar
  25. 43.
    Als grundlegende Arbeiten sind Harrison, Kreps (1979) [50] und Harrison, Pliska (1981) [51] zu nennen.Google Scholar
  26. 44.
    Die folgenden Definitionen und auch die Definition eines bedingten Erwartungswertes stammen aus der Stochastischen Analysis. Sie sind z.B. zu finden bei Bingham, Kiesel (1998) [12].Google Scholar
  27. 45.
    Vgl. zum Numerairewechsel Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  28. 46.
    Der Money Maxket Account ist definiert als das Ergebnis der rollierenden Anlage von anfänglich einer Geldeinheit zum jeweiligen lokal risikolosen einperiodigen Zins. Vgl. auch S. 15.Google Scholar
  29. 48.
    Eine ausführliche Darstellung von risikoneutraler und terminrisikoangepaßter Bewertung in diskreter Zeit ist zu finden bei Madjlessi, Schlag (1996) [79].Google Scholar
  30. 49.
    Vgl. Dothan (1990) [32]. Williams (1991) [108] spricht hier auch von der „Tower Property“.Google Scholar
  31. 50.
    Eine anschauliche Definition der Radon-Nikodym-Ableitung ist zu finden bei Baxter, Rennie (1996). [9].Google Scholar
  32. 51.
    Die Radon-Nikodym-Ableitung eines Maßes Q bezüglich eines Maß P ist auch dann definiert, wenn das Maß Q bezüglich des Maßes P absolut stetig ist, wenn also alle Zustände, die unter P eine Wahrscheinlichkeit von Null haben, auch unter Q eine Wahrscheinlichkeit von Null haben. Vgl. Bingham, Kiesel (1998) [12].Google Scholar
  33. 52.
    Vgl. Annahme 2.3.Google Scholar
  34. 54.
    Vgl. zur Abgrenzung zwischen der Gültigkeit des Law of One Price und der Arbitragefreiheit S. 33 und Pliska (1997) [91].Google Scholar
  35. 55.
    Ein Überblick über diese Verfahren wird in Kapitel 3.3 gegeben.Google Scholar
  36. 56.
    Vgl. Annahme 2.3.Google Scholar
  37. 60.
    Man spricht hier auch vom Change of Numeraire. Die oben hergeleitete Formel gilt allgemein und ist z.B. bei Geman, El Karoui, Rochet (1995) [39] und bei Bingham, Kiesel (1998) [12] zu finden.Google Scholar
  38. 61.
    Vgl. Kapitel 2.1.1.Google Scholar
  39. 65.
    Ausführlich wird dies in Kapitel 5.1.1 diskutiert.Google Scholar
  40. 66.
    Vgl. Definition 2.12.Google Scholar
  41. 68.
    Vgl. Definition 2.14.Google Scholar
  42. 70.
    Vgl. hierzu auch Avellaneda et al. (1999) [4].Google Scholar
  43. 71.
    Nach Kapitel 2.3.1 ist jedes äquivalente Martingalmaß auch ein signiertes Martingalmaß.Google Scholar
  44. 72.
    Vgl. Kapitel 2.3.2.Google Scholar
  45. 73.
    Vergleiche zur folgenden Darstellung und zur Definition der verwendeten Begriffe Dothan (1990) [32].Google Scholar
  46. 78.
    Vgl. Dothan (1990) [32], Baxter, Rennie (1996) [9]. Die Basismartingale und damit auch diese Darstellung sind vom Maß P abhängig.Google Scholar
  47. 83.
    Vgl Long (1990) [76] und Bajeux-Besnainou, Portait (1997) [7]. Diese setzen das Maß Q gleich dem wahren Maß P oder gleich der historischen Wahrscheinlichkeitsverteilung.Google Scholar
  48. 84.
    Vgl. Long (1990) [76], Bajeux-Besnainou, Portait (1997) [7].Google Scholar
  49. 86.
    Vgl. z.B. Long (1990) [76].Google Scholar
  50. 88.
    Vgl. Definition 2.14.Google Scholar

Copyright information

© Deutscher Universitäts-Verlag GmbH, Wiesbaden 2002

Authors and Affiliations

  • Nicole Branger

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