Stochastische Prozesse

Zusammenfassung

Eine Zeitreihe ist eine nach dem Zeitindex t geordnete Menge von Beobachtungswerten x_t einer Variablen X_t, wobei in der Regel eine bestimmte, endliche Anzahl T von Beobachtungen zur Verfügung steht. Diese Beobachtungen liegen meist in äquidistanter Form vor, d.h. der zeitliche Abstand zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Beobachtungswerten ist konstant. Eine solche diskrete Menge von Beobachtungswerten {x₁,x₂,…,x_T} wird nun als eine endliche Realisation eines univariaten stochastischen Prozesses {X_t, t = 0, ± 1, ± 2,…} aufgefasst. Ein solcher Prozess heisst schwach stationär, wenn für alle t ∈ {0, ± 1, ± 2,…} gilt:

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left( {{X_t}} \right) = \,{\mu _x}} \\ {E\left( {{{\left( {\left. {{X_t}} \right) - {\mu _x}} \right)}^2}} \right) = \,VAR\left( {{X_t}} \right)\, = \,\sigma _x^2} \\ {E\left( {\left( {{X_t} - {\mu _x}} \right)\left( {{X_{t + K}}\, - \,{\mu _x}} \right)} \right) = COV\left( {{X_{t + K}}} \right) = {\gamma _x}\left( K \right),} \\ {f\ddot ur\,alle\,t,t\, + \,K\, \in \,\{ 0,\, \pm \,1,\, \pm 2,...\} .} \end{array} $$