Stochastische erklärende Variablen

Zusammenfassung

Betrachtet wird ein lineares Einzelgleichungsmodell y = Xβ + u, für das alle der genannten idealen Voraussetzungen erfüllt sein sollen, bis auf die Annahme, dass X nicht stochastisch ist. Es wird nun zugelassen, dass X auch stochastische Elemente enthält. Im einfachsten der denkbaren Fälle sind die Zufallsvariablen X und u stochastisch unabhängig. Aber selbst wenn wiederum eine T-dimensionale Normalverteilung der Störvariablen u unterstellt wird, sind Inferenzaussagen bezüglich $\hat \beta \$ und $\hat \sigma _u^2$ nur möglich, falls die Verteilung von X bekannt ist. Insbesondere sind die gebräuchlichen Signifikanztests nicht anwendbar. Es ist auch nicht möglich, ohne weitere Kenntnisse über die Verteilung von X die Konsistenz der OLS-Schätzfunktionen $\hat \beta \$ nachzuweisen. Die Hypothesentests für die Koeffizienten β sind daher in der Regel auch nicht einmal asymptotisch gültig. Sind X und u korreliert, wird die Situation noch problematischer. Es gilt dann [mathtype] und die OLS-Schätzfunktionen

$$ _{T \to \infty }^{p\lim }\frac{{X'u}}{T}\, \ne \,0, $$

sind verzerrt und nicht mehr konsistent.