Martingale

Zusammenfassung

Wie schon die Beispiele des Poisson- und des Wiener-Prozesses zeigten, liegen bei allgemeinen stochastischen Prozessen X _T = (Ω, S, P,(X _t )_t∈T) mit der Parametermenge T ⊂ IR¹ i.a. stochastische Abhängigkeiten zwischen den Zufallsgrößen X_t vor. Für jeden “Zeitpunkt“ t ∈ T hängt somit die künftige Entwicklung des Prozesses i.a. davon ab, wie sich der Prozeß bis dahin verhalten hat — die Kenntnis der Entwicklung bis zum (gegenwärtigen) Zeitpunkt t liefert dann also Informationen über den zukünftigen Verlauf des Prozesses. Diese Anmerkungen deuten bereits darauf hin, daß die Gesamtheit der Ereignisse, die in relevantem Zusammenhang mit dem Verlauf von X_T bis zum Zeitpunkt t stehen, für die Untersuchung der künftigen (stochastischen) Entwicklung von X_T wichtig sein wird. Im folgenden geht es zunächst darum, diese noch vagen Vorstellungen mathematisch zu präzisieren und besonders wichtige Spezialfälle zu untersuchen. Als erstes soll die anschauliche Vorstellung über die Gesamtheit sämtlicher bis zum Zeitpunkt t relevanten Ereignisse in das mathematische Modell stochastischer Vorgänge übersetzt werden. Von einer Familie von Mengensystemen S _t , welche diese Gesamtheiten beschreiben, werden wir verlangen.