Die Anpassung von Daten mit der Methode der kleinsten Quadrate

Zusammenfassung

In den Kapiteln 2 und 6 haben wir die Interpolation von vorgegebenen Punkten (x _k ,y _k ) (k = 1,…,n) mit zwei Typen von Funktionen, nämlich Polynomen vom Grad n−1 und mit Spline-Funktionen mit zwei, drei oder vier zu findenden Koeffizienten pro Intervall [x _k ,x_k+1] (k = 1,…n−1), untersucht. Jetzt gehen wir davon aus, daß die Ordinaten y _k mit Fehlem behaftet sind und daß wir deshalb nicht interpolieren, sondern mit einem Funktionstyp

$$f = f({a_0}, \ldots ,{a_m},x)$$

((7.1))

mit m+1 <n Parametern a₀,…,a _m die Daten y _k anpassen wollen, d. h. die Residuen

$$\matrix{{{r_k} = f({a_0}, \ldots ,{a_m},{x_k}) - {y_k}} \;\;\;\; {(k = 1, \ldots ,n)} \cr }$$

((7.2))

in einem vorzugebenden Sinne klein machen wollen. Wegen m<n−1 ist z. B. die Interpolation durch Polynome vom Grad m i. a. nicht mehr möglich. Die Residuen (7.2) sind dann klein, wenn für den Vektor r ∊ℝⁿ mit den Komponenten r _k gemäß (7.2) ∥r∥ klein wird für irgendeine Vektornorm ∥ ∥ : ℝⁿ →ℝ. Wir beschränken uns hier auf die EUKLIDsche Vektornorm und wollen also

$$F({a_0}, \ldots ,{a_m}) = \left\| r \right\|_2^2 = \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left[ {f({a_0}, \ldots ,{a_m},{x_k}) - {y_k}} \right]}^2}}$$

((7.3))

minimieren. Da dies eine Quadratsumme ist, spricht man von der Methode der kleinsten Quadrate.