Anfangs- und Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Viele Probleme aus den Naturwissenschaften und der Technik führen auf Differentialgleichungen. Wird eine differenzierbare Funktion y = y(x) einer reellen Veränderlichen x (in den Anwendungen meistens die Zeit) gesucht, deren Ableitung y′ nach x einer Gleichung der Form

$$y'(x) = f(x,y(x))$$

((10.1))

genügen soll, so handelt es sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung. (Bei partiellen Differentialgleichungen, die wir hier nicht betrachten werden, liegen mehrere Veränderliche, i. a. zwei oder drei sowie eine Gleichung vor, in der auch partielle Ableitungen nach den verschiedenen Veränderlichen auftreten.) Im allgemeinen besitzt (10.1) unendlich viele Funktionen y als Lösung (z. B. sind für y′ =y die Funktionen y = ce^x, wobei c eine beliebige Konstante ist, Lösungen) oder auch gar keine. Durch zusätzliche Bedingungen kann man eine gewisse Lösung aus der Menge aller Lösungen aussondern, z. B. durch eine Anfangsbedingung

$$y({x_0}) = {y_0}.$$

((10.2))