Grundlagen der Fouriertransformation

Zusammenfassung

Es sei eine beliebige Funktion f (t). Mit (2-35) kann sie als Faltung mit der δ-Funktion geschrieben werden. Wird für die Dirac-Funktion (2-29) eingesetzt, gilt

$$ f(t) = f(t)*\delta (t) = \int\limits_{{ - \infty }}^{\infty } {f(\tau )} \cdot \delta (t - \tau )d\tau = \int\limits_{{ - \infty }}^{\infty } {f(\tau )(\int\limits_{{ - \infty }}^{\infty } {{{e}^{{j2\pi f(t - \tau )}}}} df)d\tau } $$

(3-1)

Die Reihenfolge der Integration in (3-1) darf vertauscht werden:

$$ f(t) = \int\limits_{{ - \infty }}^{\infty } {(\int\limits_{{ - \infty }}^{\infty } {f(\tau ){{e}^{{ - j2\pi f\tau }}}} d\tau ){{e}^{{j2\pi ft}}}df} $$

(3-2)

Das innere Integral von (3-2) ergibt eine Funktion

$$ F(f) = \int\limits_{{ - \infty }}^{\infty } {f(t){{e}^{{ - j2\pi ft}}}dt\quad Fourierintegral} $$

(3-3)

die nur von der Frequenz abhängt. Sie wird die Fouriertransformierte von f (t) genannt. Ähnlich wie durch die Fourier-Reihe (2-16) einer periodischen Funktion die spektralen Koeffizienten c _n (2-15) zugeordnet werden, ordnet das Fourierintegral einer beliebigen, nichtperiodischen Zeitfunktion eine Spektralfunktion zu.