Einleitung

Zusammenfassung

Als Ausgangspunkt dieser Arbeit kann die Ungleichung

$$ {\left\| {{t_n}} \right\|_{{q,2\pi }}} \leqslant {C_{{pq}}}{n^{{1/p - 1/q}}}\left\| {{t_n}} \right\|p,2\pi (1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty ) $$

((1.1))

für trigonometrische Polynome ${t_n}(x): = \sum\nolimits_{{k = - n}}^n {{c_k}{e^{{ikx}}}}$ angesehen werden (vgl. § 5.1). Sie wurde, zusammen mit einer mehrdimensionalen Version und analogen Resultaten für ganze Punktionen exponentiellen Typs, von S.M. Nikolskii [31] 1951 bewiesen. Danach werden Ungleichungen der Art (1.1), also Abschätzungen zwischen verschiedenen Normen ein und derselben Punktion (mit kompaktem Spektrum), in der Literatur häufig als Ungleichungen vom Nikolskii-Typ bezeichnet. Wir wollen uns dem anschließen, jedoch erwähnen, daß (1.1) für den Fall q = ∞ schon bei D. Jackson [22] 1933 zu finden ist und daß analoge Ergebnisse, auch für 0 < p < 1, unabhängig von G. Szegö — A. Zygmund [43] 1953 erhalten wurden. Im übrigen sei für ausführliche Kommentierungen der schon recht umfangreichen (Folge-) Literatur auf [18;28;44;49] verwiesen (siehe auch § 5.1).