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Gewichtete Approximation Durch Variationsvermindernde Operatoren vom Faltungstyp

  • J. Kemper
  • R. J. Nessel
Chapter
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Part of the Forschungsberichte des Landes Nordrhein-Westfalen book series (FOLANW)

Zusammenfassung

Es sei R bzw. P bzw. N die Menge aller reellen bzw. nichtnegativen ganzen bzw. natürlichen Zahlen. Sei C der Raum aller auf R gleichmäßig stetigen und beschränkten Funktionen mit der Norm
$${{\left\| f \right\|}_{C}}\equiv {{\left\| f(x) \right\|}_{C}}=\underset{x\in R}{\mathop{\sup }}\,|f(x)|$$
und LP, 1≤p≤∞, der Raum aller auf R meßbaren Funktionen, für die die Norm
$${{\left\| f \right\|}_{p}}\equiv {{\left\| f(x) \right\|}_{p}}=\left\{ \begin{matrix} {{(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(x) \right|{{p}_{dx}}})}^{1/p}},1\le p\prec \infty \\ ess {{\sup }_{x\in R}}\left| f(x) \right|,p=\infty \\ \end{matrix} \right.$$
endlich ist. X sei einer der Räume C oder LP, 1≤p<∞. Für f∈X sei ein singuläres Integral vom Faltungstvp der Form
$$I(f;x;\rho )\equiv (f*{{x}_{\rho }})(x)=\rho \int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(x-u)x(\rho u)}du(\rho >0)$$
(1.1)
vorgegeben. Dabei sei ρ > 0 ein Parameter, der gegen unendlich streben soll, und {χρ(x)}ρ>0 der Kern des singulären Integrals {I(f;x;ρ)}ρ>0, der hier immer die spezielle Parameterabhängigkeit χρ(x) = ρχ(ρx) aufweisen soll. In diesem Fall bezeichnet man auch die Funktion χ selbst als Kern von (1.1). Ist χ∈ NL1 d.h. ist X∈ L1 normiert zu \(\int_{-\infty }^{\infty }{X(x)dx=1}\), so bilden die Operatoren (1.1) für ρ→∞ einen starken Approximationsprozeß auf X, d.h., für jedes f∈ X gilt (vgl. [4,p.121])
$$\underset{\rho \to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left\| I(f;x;\rho )-f(x) \right\|}_{x}}=0.$$
(1.2)

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Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1973

Authors and Affiliations

  • J. Kemper
    • 1
  • R. J. Nessel
    • 1
  1. 1.Lehrstuhl A für MathematikTH. AachenDeutschland

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