Ein Vergleich zwischen dem Hausdorff-Momentenproblem und dem modifizierten Legendre-Momentenproblem

Zusammenfassung

Berücksichtigt man, daß jede Potenz u^k, u ε [0,1], k ε IP, über die Legendre-Polynome (6.21) darstellbar ist in der Form

$${{u}^{k}}=\sum\nolimits_{j=0}^{k}{{{c}_{j,k}}{{p}_{j}}(u)}$$

(7.1)

mit eindeutig bestimmten reellen Zahlen c_j,k εIR, 0≤j≤k, kεIP, und daß umgekehrt

$${{p}_{k}}(u)=\sum\nolimits_{j=0}^{k}{{{d}_{j,k}}{{u}^{j}}}$$

(7.2)

gilt mit eindeutigen d_j,kε IR , 0≤j≤k kε IP, so weist aer Satz 1 von Hausdorff mit Satz 9 (a) über das Legendre-Momentenproblem die folgende Verwandtschaft auf:

Aus dem Hausdorff-Momentenproblem erhält man das modifizierte Legendre-Momentenproblem, indem man gemäß (7.2) die Potenzen u^k durch die Linearkombination p_k(u) ersetzt. Über (7.1) ist dann auch der umgekehrte Weg möglich. Vergleicht man weiter (3.11) mit dem Teil (iii) von Satz 9 (a) oder (3.2) mit (ii) von Satz 9 (a), so besteht auch zwischen diesen Bedingungen dieselbe Beziehung: Erfüllt eine Folge {μ_k} ^∞_k=O die Bedingung (3.2), so erfüllt die eindeutig definierte Folge $\{\sum\nolimits_{v=0}^{k}{{{c}_{v,k}}{{\mu }_{v}}}\}_{k=0}^{\infty }$ die Bedingung (ii) des Satzes 9 (a) und er-füllt umgekehrt eine Folge {μ_k} ^∞_k=O die letztere Bedingung, so gilt für die Folge $\{\sum\nolimits_{v=0}^{k}{{{d}_{v,k}}{{\mu }_{v}}}\}_{k=0}^{\infty }$ auch (3.2).