Anwendungen auf Approximationsverfahren im ℝⁿ

Zusammenfassung

Um als Anwéndung der abstrakten Theorie die bekannten Ergebnisse im ℝⁿ zurückzugewinnen, setzen wir X = B(ℝⁿ), L = L¹(ℝⁿ) und E = L^p(ℝⁿ), 1≤p≤∞, und weisen die Gültigkeit der Bedingungen nach.Bed. A im jetzigen Rahmen wurde bereits in Abschnitt 2.1 als Motivation benutzt. Bezüglich Bed. B wird die klassische Situation reproduziert, falls man

$$ \text{N:=N}{{\text{L}}^{\text{1}}}\text{(}{{\text{R}}^{\text{n}}}\text{):= }\!\!\{\!\!\text{ f}\in {{\text{L}}^{1}}\text{; }\int_{{{\mathbb{R}}^{\text{n}}}}{\text{f(u)du=1}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ } $$

setzt und den Operator T_t durch

$$ {{\text{T}}_{\text{t}}}\text{u(}\cdot \text{):=u(}\cdot {{\text{t}}^{\text{-1}}}\text{) (t0, u}\in \text{B(}{{\mathbb{R}}^{\text{n}}}\text{))} $$

(4.1)

definiert, dessen Restriktion auf L¹ die Form T_t/Lf(u)=t⁻ⁿf(ut⁻¹) hat. Auf der Klasse NL¹(ℝⁿ) erzeugt dann T_t approximierende Identitäten vom klassischen Fejér-Typ (vgl. [3, p. 121]). Im folgenden werde der maximale Idealraum von ${{\text{M}}_{{{\text{L}}^{\text{1}}}}}$ mit ℝⁿ identifiziert (vgl. Abschnitt 2.1). Als Punkt M_o, in dem lokale Teilbarkeit vorliegen soll, können wir deshalb ohne Einschränkung der Allgemeinheit den Nullpunkt des ℝⁿ wählen. Als Umgebungsbasis von 0 gemäß Bed. C kann dann

$$ u_t :{\text{ }} = \{ u \in \mathbb{R}^n ;|{\text{ }}u{\text{ }}|{ < }t{\text{ }}\} {\text{ }}(t0) $$

genommen werden, da ℝⁿ als maximaler Idealraum von L¹(ℝⁿ) die natürliche Topologie besitzt.