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Zusammenfassung

Sei X eine kommutative Banach-Algebra mit Elementen μ, ν, σ,..., Norm \( || \cdot || = || \cdot ||_X \) und Idealen I. Die Familie aller maximalen Ideale oder, falls X keine Identität hat, aller regulären maximalen Ideale M heißt maximaler Idealraum M von X. Die Algebra X heißt halbeinfach, falls \({{\cap }_{M\in M}}M=\left\{ O \right\}.\) .Nach einem Satz von Gelfand entspricht jedem M ∈ M ein-eindeutig ein nichttrivialer Homomor­phismus HM von X in C, der Menge der komplexen Zahlen, so daß man M mit HM identifizieren kann. Die Gelfand-Transformierte von μ ist die Abbildung \({{\mu }^{\wedge }}\) von M in C, die durch \(\mu ^ \wedge \left( M \right): = H_M \left( \mu \right)fur\mu \in {\rm X}\) gegeben ist. Beim Rechnen mit der Gelfand-Transformation benutzen wir
$$ Faltungssatz:\left( {\mu \nu } \right)^ \wedge \left( M \right) = \mu \left( M \right)\nu ^ \wedge \left( M \right)\left( {\mu ,\nu \in {\rm X},M \in M} \right); $$
(2.1)
$$ Eindeutigkeitssatz:\mu ^ \wedge \left( M \right) = 0furalleM \in Mimpliziert\mu = o,falls{\rm X}halbe\inf achist; $$
(2.2)
$$ \left| {\mu ^ \wedge \left( M \right)} \right| \leq \left\| \mu \right\|\left( {\mu \in {\rm X},M \in M} \right); $$
(2.3)
$$\mu \in Mgenaudann,wenn{{\mu }^{\wedge }}\left( M \right)=O.$$
(2.4)

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Copyright information

© Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen 1975

Authors and Affiliations

  • G. K. Bragard
    • 1
  • R. J. Nessel
    • 1
  1. 1.Lehrstuhl A für MathematikRhein. -Westf. Techn. Hochschule AachenDeutschland

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