Zusammenfassung
In diesem Kapitel sollen die wesentlichsten logischen Grundlagen der Theorie kollektiver Entscheidungen, die wir im weiteren Verlauf unserer Ausführungen benötigen, vorgestellt werden. Im Mittelpunkt dieser Ausführungen werden drei Konzepte — binäre Relationen, Präferenzordnungen und Wahlfunktionen — stehen. Dabei werden grundlegende Kenntnisse der Aussagenlogik und der Mengenlehre, wie sie z. B. in den Arbeiten von Czayka (1972), Segeth (1972) und Strombach-Ehmde-Reyersbach (1972) vermittelt werden, vorausgesetzt.
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Literatur
Vgl. dazu Fishburn (1970, S. 10; 1972, S. 25; 1973, S.71) und Schneeweiß (1963, S. 179).
Vgl. dazu beispielsweise Weinberg (1971, S. 58–59) und Czayka (1972, S. 96–98).
Da wir uns in dieser Arbeit hauptsächlich mit binären Relationen befassen werden, werden wir für “binäre Relationen” auch häufig nur “Relationen” sagen. Sollten wir einmal nicht-binäre Relationen ansprechen, werden wir dies hervorheben.
Vgl, dazu und zu den Beweisen Fishburn (1970, S. 11; 1973, S. 73).
Vgl. zu diesem Vorgehen und zu diesem Konzept z.B. Murakami (1968, S. 6–11, insbesondere S. 11).
Vgl. dazu beispielsweise die Übersicht bei Sen (1970, S. 9), aber auch Arrow (1963, S. 13–14 und S. 77), Schneeweiß (1963, S. 180–183), Murakami (1968, S. 4–14), Fishburn (1970, S. 11–22; 1972, S. 27–34; 1973, S. 74–80), Pattanaik (1971, S. 6–7) und Tristram (1974, S. 10).
Wir wollen diesen Ausdruck hier bewußt nicht exakt festlegen. Er wird, wenn man z.B. nur an “kardinale Präferenzordnungen” denkt, in der entscheidungs- und in der wirtschaftswissenschaftlichen Literatur in vielen Varianten verwendet.
Vgl. zu diesem Kapitel vor allem Sen (1969, S. 381–385; 1970, S. 9–20), aber auch Arrow (1959; 1963, S. 15–16), Chernoff (1954), Lorimer (1967), Rader (1963), Richter (1966), Pattanaik (1968;1971), Sonnenschein (1965, 1967) und Uzawa (1960).
Zu dem folgenden Satz und zu seinem Beweis vgl. Arrow (1963, S. 14–15) und Sen (1970, S. 10–11).
Man beachte, daß PP nichts anderes als Quasitransitivität aus Definition II. 2. (5) ist.
Vgl. zum folgenden Lemma 1xb.-Lemma 1xe. bei Sen (1970, S, 11–12). Satz II.2.(b) ist auch von Arrow (1963, S. 15–16) bewiesen worden.
In der Literatur wird Ax oft auch als beliebige (also nicht zwingend endliche) Menge eingeführt. Dies ist aber für unsere Problemstellung nicht wesentlich. Wichtig ist nur, daß die Mengen A endliche Untermengen von Ax sind.
Zu den beiden ersten Beispielen vgl. Pattanaik (1968, S. 1) und Sen (1969 a, S. 203–204).
Vgl. zu dem nachfolgenden Satz und zu seinem Beweis Theorem II in Sen (1969, S. 383) und Lemma 1x k. bei Sen (1970, S. 15).
Vgl, dazu Sen (1970, S. 15–16).
Zum Beweis vgl. Lemma V.1. auf S. 173 dieser Arbeit
Zum Beweis vgl. Sen (1970, S. 16).
Vgl, dazu ebenfalls Sen (1970, S. 16).
Vgl. zum folgenden insbesondere Sen (1969; 1970, S. 16–20) und die in Fußnote 2, S. 22 angegebene Literatur.
Sen (1969, S. 384; 1970, S. 17) macht die beiden Bedingungen an folgenden Beispielen klar: R1 fordert, daß ein Pakistani, der in einer sportlichen Disziplin Weltmeister ist, auch Meister von Pakistan sein muß. Bei der Erläuterung der zweiten Bedingung unterläuft ihm aber ein kleiner Fehler. R2 fordert, daß, wenn einer der Meister von Pakistan -nicht wie bei Sen ein beliebiger Pakistani-Weltmeister ist, dann auch alle anderen Meister von Pakistan Weltmeister sein müssen.
Vgl. dazu Sen (1969, S. 384).
Vgl. zum folgenden Arrow (1963, S. 14–15) und vor allem Sen (1969, S. 382).
Sen (1969, S. 382) verweist zu diesem Beweis auf Sonnenschein (1965, S. 627, Theorem 3) und Lorimer (1967, S. 537, Theorem 1). Das ist nicht ganz überzeugend, denn Lorimer gibt zu seinem Theorem keinen Beweis, behauptet nur, es gäbe genau das wieder, was in Sonnenscheins Theorem 3 ausgedrückt wäre. Sonnenschein bedient sich aber bei seiner Argumentation einer gänzlich anderen Terminologie als wir hier. Deshalb geben wir hier einen Beweis an.
Vgl. dazu Sen (1969,S. 384–385, Theorem III, Theorem IV, Corollary 1) und Sen (1970, S. 18–20, Lemma 1x n., 1xp, und 1xq.).
Die nun folgenden Abbildungen sind aus Sen (1969, S. 385) übernommen.
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© 1978 Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler KG, Wiesbaden
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Schauenberg, B. (1978). Entscheidungslogische Grundlagen und Grundkonzepte. In: Zur Logik kollektiver Entscheidungen. neue betriebswirtschaftliche forschung, vol 3. Gabler Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-87948-6_2
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Publisher Name: Gabler Verlag
Print ISBN: 978-3-409-83011-9
Online ISBN: 978-3-322-87948-6
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