Eine interessante Reihe

Zusammenfassung

Es muß eine der großen Überraschungen in der Mathematik gewesen sein zu entdecken, daß die harmonische Reihe divergiert. Das erkennt man schnell und einfach auf folgende Weise

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{n} + \ldots = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{9}} \right) + \left( {\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \ldots + \frac{1}{{99}}} \right) + \left( {\frac{1}{{100}} + \frac{1}{{101}} + \ldots + \frac{1}{{999}}} \right) > \left( {\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} + \ldots + \frac{1}{{10}}} \right) + \left( {\frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}} + \ldots + \frac{1}{{100}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1000}} + \frac{1}{{1000}} + \ldots + \frac{1}{{1000}}} \right) + \ldots \frac{9}{{10}} + \frac{{90}}{{100}} + \frac{{900}}{{1000}} + \ldots \frac{9}{{10}} + \frac{9}{{10}} + \frac{9}{{10}} + \ldots$$