Abstract
The paper deals with the Fourier-finite-element method for solving elliptic problems in three-dimensional axisymmetric domains and gives some survey of this approach to Poisson-like equations. The method combines the approximating Fourier method with the finite-element method and reduces the solution of a problem in 3D to the solution of coupled or even decoupled systems of elliptic problems in 2D. Algorithmic aspects of this method, its parallelization and basic results of the numerical analysis, particularly for the Poisson equation in domains with edges, are discussed. The results are illustrated by some numerical example, where the rate of convergence of the Fourier-finite-element approximation and the run time for partial computational steps are given.
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References
K. E. Buck. Zur Berechnung der Verschiebungen und Spannungen in rotationssymmetrischen Körpern unter beliebiger Belastung. PhD thesis, Universität Stuttgart, 1970. Dissertation.
P. Butzer and R. Nessel. Fourier Analysis and Approximation, Vol. I. Birkhäuser Verlag, Basel, 1971.
C. Canuto, Y. Maday, and A. Quarteroni. Analysis of the Combined Finite Element and Fourier Interpolation. Num. Math., 39: 205–220, 1982.
P. Ciarlet. The finite element method for elliptic problems. North—Holland, Amsterdam, 1978.
St. Fischer. Numerische Lösung spezieller 3D—Randwertaufgaben mittels einer gekoppelten FEM—Fourier—Strategie. Diplomarbeit, Technische Universität Karl—Marx—Stadt ( Chemnitz ), Sektion Mathematik, 1988.
G. Globisch. PARMESH–a parallel mesh generator. Parallel Computing, 21 (3): 509–524, 1995.
B. Heinrich. Singularity Functions at Axisymmetric Edges and their Representation by Fourier Series. Math. Meth. Appl. Sci., 16: 837–854, 1993.
B. Heinrich. The Fourier—finite—element method for Poisson’s equation in axisymmetric domains with edges. Preprint SPC 94_17, Technische Universität Chemnitz—Zwickau, Fakultät für Mathematik, August 1994. To appear in SIAM J. Num. Anal., 1996.
B. Heinrich, B. Lang, and B. Weber. Parallel computation of Fourier—finite—element approximations and some experiments. Preprint SPC 9515, Technische Universität Chemnitz—Zwickau, Fakultät für Mathematik, Mai 1995.
B. Heinrich and St. Fischer. Lösung spezieller 3D—Randwertaufgaben mittels gekoppelter Fourier—Finite—Elemente—Methode. Preprint 100, Technische Universität Karl—MarxStadt (Chemnitz), 1989.
B. Heinrich and B. Weber. The Fourier—finite—element method for three—dimensional elliptic problems with axisymmetric interfaces. Preprint SPC 9422, Technische Universität Chemnitz—Zwickau, Fakultät für Mathematik, November 1994.
J. Y. Lai and J. R. Booker. Application of Discrete Fourier Series to the Finite Element Stress Analysis of Axi—Symmetric Solids. Int. J. Num. Meth. Eng., 31: 619–647, 1991.
B. Mercier. An Introduction to the Numerical Analysis of Spectral Methods. Springer—Verlag, Berlin Heidelberg, 1989.
B. Mercier and G. Raugel. Résolution d’un problème aux limites dans un ouvert axisymétrique par éléments finis en r, z et séries de Fourier en B. R.A.I.R.O. Analyse numérique, 16 (4): 405–461, 1982.
B. Nkemzi. Partielle Fourierdekomposition für das lineare Elastizitätsproblem in rotationssymmetrischen Gebieten. Preprint SPC 95_12, Technische Universität Chemnitz—Zwickau, Fakultät für Mathematik, März 1995.
M. Pester. Zur Implementation paralleler Algorithmen - Elementare Operationen mit Matrizen und Vektoren im Hypercube. Preprint 166, Technische Universität Karl-Marx-Stadt (Chemnitz ), Sektion Mathematik, 1990.
M. Pester and T. Steidten. Parallel Implementation of the Fourier Finite Element Method. Preprint SPC 94_10, Technische Universität Chemnitz-Zwickau, Fakultät für Mathematik, 1994.
S. Rjasanow. Dokumentation und theoretische Grundlagen zum Programm SOLKLZ. Preprint 15, Technische Universität Karl-Marx-Stadt (Chemnitz), 1986.
K. Runesson and J. R. Booker. Finite element analysis of elastic-plastic layered soil using discrete Fourier series expansion. Int. J. Num. Meth. Eng., 19: 473–478, 1983.
E. Schultchen, H. Ulonska, and W. Wurmnest. Statische Berechnung von Rotationskörpern unter beliebiger nicht-rotationssymmetrischer Belastung mit dem Programmsystem ANTRAS-ROT. Forschungsbericht 35–2, Techn. Mitt. Krupp, 1977.
C. Schwab. Numerische Verfahren zur Untersuchung der magnetohydrodynamischen Stabilität dreidimensionaler Plasmagleichgewichte. Dissertation, TH Darmstadt, 1991.
H. R. Schwarz. The Fast Fourier Transform for General Order. Computing, 19: 341–350, 1978.
B. Weber. Die Fourier-Finite-Elemente-Methode für elliptische Interfaceprobleme in axialsymmetrischen Gebieten. PhD thesis, Technische Universität Chemnitz-Zwickau, 1994.
W. Weese. Spannungs-und Verformungsberechnung in Rotationskörpern mit beliebiger Belastung auf der Grundlage der Fourierreihenentwicklung nach der Methode der finiten Elemente. TU Magdeburg, Sektion Maschinenbau, 1983. Anwenderdokumentation für das Programm ROKO 3/83.
E. L. Wilson. Structural analysis of axisymmetric solids. AIAA J., 3 (12): 2269–2274, 1965.
C. Zienkiewicz. The Finite Element Method, 3rd ed. McGraw-Hill, New York, 1977.
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© 1995 Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden
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Heinrich, B. (1995). The Fourier-finite-element method for elliptic problems in axisymmetric domains. In: Hackbusch, W., Wittum, G. (eds) Numerical Treatment of Coupled Systems. Notes on Numerical Fluid Mechanics (NNFM), vol 51. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-86859-6_6
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